EiMedBiom-ÜB6-Cheatsheet

📌 Übungsblatt 6 – Cheat Sheet

Hier die Lösung zum Blatt: EiMedBiom - Blatt 6

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📊 1. Logistische Regression in der Kardiologie

Thema: Untersuchung der unerwünschten Arzneimittelwirkung (UAW) in Abhängigkeit von mehreren Risikofaktoren mit einer logistischen Regression.

a) Logistisches Regressionsmodell

• Die abhängige Variable $Y$ ist binär: UAW ja (1) / nein (0).

• Die Prädiktoren ($X$) sind:

  • $X_1$: Statinverordnung (ja/nein)
  • $X_2$: Geschlecht (weiblich/männlich)
  • $X_3$: Alter (in Jahren)
  • $X_4$: Hämatokrit (Blutwert, g/dl)

• Modellgleichung für die logistische Regression:

  $$\log \left(\frac{P(Y=1)}{1-P(Y=1)}\right)={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+{\beta }_3{X}_3+{\beta }_4{X}_4+{\beta }_5{X}_1{X}_2$$

• Interpretation der Koeffizienten:

  • ${\beta }_1$: Effekt von Statin auf das Risiko einer UAW.
  • ${\beta }_2$: Effekt des Geschlechts.
  • ${\beta }_3$: Einfluss des Alters.
  • ${\beta }_4$: Einfluss des Hämatokrits.
  • ${\beta }_5$: Wechselwirkung zwischen Statin & Geschlecht.

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b) Berechnung der erwarteten Anzahl an UAW

• Erwartungswert der Wahrscheinlichkeit: $$P(Y=1|X)=\frac{e^{{\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+{\beta }_3{X}_3+{\beta }_4{X}_4+{\beta }_5{X}_1{X}_2}}{1+e^{{\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+{\beta }_3{X}_3+{\beta }_4{X}_4+{\beta }_5{X}_1{X}_2}}$$
• Anwendung auf eine bestimmte Gruppe von Patienten ($X$-Werte bekannt).

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c) Odds Ratio für verschiedene Patientengruppen

• Odds einer UAW für Gruppe $A$: $${\text{Odds}}_A=e^{{\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+{\beta }_3{X}_3+{\beta }_4{X}_4+{\beta }_5{X}_1{X}_2}$$
• Odds einer UAW für Gruppe $B$: $${\text{Odds}}_B=e^{{\beta }_0+{\beta }_3{X}_3}$$
• Odds Ratio (OR) für den Vergleich zwischen den Gruppen: $$OR=\frac{{\text{Odds}}_A}{{\text{Odds}}_B}=e^{{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+{\beta }_4{X}_4+{\beta }_5{X}_1{X}_2}$$

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d) Wald-Test zur Signifikanzbewertung von ${\beta }_3$ (Alter)

• Hypothesen:
  • $H_0:{\beta }_3=0$ → Alter hat keinen Einfluss.
  • $H_1:{\beta }_3\ne 0$ → Alter beeinflusst die UAW-Wahrscheinlichkeit.
• Teststatistik: $$Z=\frac{{\hat{\beta }}_3}{SE({\hat{\beta }}_3)}$$
• 95%-Konfidenzintervall für ${\beta }_3$: $$CI={\hat{\beta }}_3\pm 1.96\cdot SE({\hat{\beta }}_3)$$

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e) Vergleich zweier Modelle mit Likelihood-Ratio-Test (LRT)

• Nullhypothese: Das größere Modell mit Hämatokrit ist nicht besser als das kleinere Modell.
• Teststatistik: $$D=D_{\text{kleines Modell}}-D_{\text{großes Modell}}$$ mit:
  • $D_{\text{kleines Modell}}=1028.437$
  • $D_{\text{großes Modell}}=1028.849$
• Vergleich mit der ${\chi }^2$-Verteilung, um Signifikanz zu prüfen.

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📊 2. Logistische Regression zur Lebenszufriedenheit

Thema: Zusammenhang zwischen positiven Tagesereignissen und Lebenszufriedenheit.

a) Logistisches Modell

• Regressionsgleichung: $$\log \left(\frac{P(Y=1)}{1-P(Y=1)}\right)={\beta }_0+{\beta }_{1}X$$
  • $Y=1$: Person ist mit dem Leben zufrieden.
  • $X$: Anzahl der positiven Tagesereignisse.
  • ${\beta }_0$: Basislevel der Zufriedenheit.
  • ${\beta }_1$: Effekt positiver Ereignisse auf Zufriedenheit.

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b) Interpretation von ${\beta }_1$

• Chancenverhältnis (Odds Ratio) für ein zusätzliches positives Ereignis: $$OR=e^{{\beta }_1}$$
• Chancenverhältnis für eine Erhöhung um 10 Ereignisse: $$O{R}_{10}=e^{10\cdot {\beta }_1}$$

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c) Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei 10 Ereignissen

• Einsetzen in die Logit-Funktion: $$P(Y=1|X=10)=\frac{e^{{\beta }_0+10\cdot {\beta }_1}}{1+e^{{\beta }_0+10\cdot {\beta }_1}}$$

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d) Visualisierung in R

• Plot der Zufriedenheitswahrscheinlichkeit abhängig von positiven Ereignissen:

  x <- 0:30
  beta0 <- 0.0113
  beta1 <- 0.0728
  p <- exp(beta0 + beta1 * x) / (1 + exp(beta0 + beta1 * x))
  plot(x, p, type="l", xlab="Positive Tagesereignisse", ylab="Wahrscheinlichkeit zufrieden zu sein")

• Interpretation: Wie steigt die Zufriedenheitswahrscheinlichkeit mit $X$?

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📌 Fazit

✅ Logistische Regression zur Untersuchung binärer Outcomes.
✅ Interpretation von Regressionskoeffizienten & Odds Ratios.
✅ Wald-Test zur Signifikanzprüfung von Regressionsparametern.
✅ Likelihood-Ratio-Test zur Modellvergleichung.
✅ Visualisierung der geschätzten Wahrscheinlichkeiten in R.

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