FSK-5VL-14-05-2024

VL 05-a

Vorabzusammenfassung

Definitionen und wichtige Formeln

1. Nerode-Relation: Für eine Sprache $L$ über einem Alphabet $\Sigma$ wird die Nerode-Relation ${\sim }_L$ wie folgt definiert:

   • $u{\sim }_{L}v$ für alle Wörter $u,v\in {\Sigma }^{\ast }$, wenn für jedes Wort $w\in {\Sigma }^{\ast }$ gilt: $uw\in L$ genau dann, wenn $vw\in L$.

   Beispiel: Für $L=\{a^{n}b\mid n\in \mathbb{N}\}$ und $\Sigma =\{a,b\}$:

   • $a{\sim }_{L}a$ (beide führen zu $L$ wenn gefolgt von einem ‘b’),
   • $a/{\sim }_{L}b$ (da $ab\in L$, aber $bb\notin L$).

2. Index der Nerode-Relation: Der Index einer Äquivalenzrelation ist die Anzahl der eindeutigen Äquivalenzklassen. Eine Sprache ist genau dann regulär, wenn der Index ihrer Nerode-Relation endlich ist.

   • $\text{Index}({\sim }_L)$ entspricht der Anzahl der Zustände im minimalen deterministischen endlichen Automaten (DFA), der $L$ erkennt.

Anwendung auf Automatentheorie

• Nerode-Automat: Für eine Sprache $L$ mit endlichem Index $n$ der Nerode-Relation, ist der Nerode-Automat ein minimaler DFA $M=(Z,\Sigma ,\delta ,[ϵ{]}_{{\sim }_L},E)$, wobei:

  • $Z=\{[u{]}_{{\sim }_L}\mid u\in {\Sigma }^{\ast }\}$ die Zustände sind,

  • $\delta ([u{]}_{{\sim }_L},a)=[ua{]}_{{\sim }_L}$ die Zustandsübergangsfunktion ist,

  • $E=\{[u{]}_{{\sim }_L}\mid u\in L\}$ die Menge der akzeptierenden Zustände ist.

    Beispiel: Für $L=\{a{b}^n\mid n\in \mathbb{N}\}$:

  • Der Index ist 3: $[ϵ{]}_{{\sim }_L}$, $[a{]}_{{\sim }_L}$, $[ab{]}_{{\sim }_L}$ usw.

  • Der DFA akzeptiert Wörter, die mit ‘a’ beginnen, gefolgt von beliebig vielen ‘b’.

Diese Konzepte zeigen, wie die Theorie der formalen Sprachen verwendet wird, um zu verstehen, welche Sprachen durch endliche Automaten erkennbar sind und wie man diese Automaten konstruiert. Der Satz von Myhill-Nerode bietet ein mächtiges Werkzeug, um die Regularität einer Sprache zu überprüfen und die Minimalität von DFAs zu bestätigen.

Der Satz von Myhill-Nerode und die Nerode-Relation

Der Satz von Myhill-Nerode ist ein zentrales Theorem in der Theorie der formalen Sprachen und Automaten. Es stellt einen Zusammenhang zwischen der Struktur einer Sprache und den Eigenschaften eines minimalen deterministischen endlichen Automaten (DFA) her.

Nerode-Relation

Die Nerode-Relation ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Wörter über einem Alphabet $\Sigma$, definiert für eine Sprache $L$. Die Relation wird wie folgt definiert:

• Für Wörter $u,v\in {\Sigma }^{\ast }$ gilt $u{\sim }_{L}v$, wenn für jedes Wort $w\in {\Sigma }^{\ast }$ folgendes zutrifft:
  • $uw\in L\iff vw\in L$

Beispiel: Für $L=\{a^{n}b\mid n\in \mathbb{N}\}$ und $\Sigma =\{a,b\}$:

• $a{\sim }_{L}a$ (beide führen zu $L$ wenn gefolgt von einem ‘b’),
• $a/{\sim }_{L}b$ (da $ab\in L$, aber $bb\notin L$).

Index der Nerode-Relation

Der Index der Nerode-Relation gibt die Anzahl der Äquivalenzklassen an. Eine Sprache ist genau dann regulär, wenn der Index ihrer Nerode-Relation endlich ist. Der Index entspricht der Anzahl der Zustände im minimalen DFA, der die Sprache $L$ erkennt.

Nerode-Automat

Der Nerode-Automat ist ein spezieller minimaler DFA, der aus der Nerode-Relation einer Sprache konstruiert wird. Er wird definiert als $M=(Z,\Sigma ,\delta ,[ϵ{]}_{{\sim }_L},E)$, wobei:

• $Z=\{[u{]}_{{\sim }_L}\mid u\in {\Sigma }^{\ast }\}$ die Zustände sind,
• $\delta ([u{]}_{{\sim }_L},a)=[ua{]}_{{\sim }_L}$ die Zustandsübergangsfunktion ist,
• $E=\{[u{]}_{{\sim }_L}\mid u\in L\}$ die Menge der akzeptierenden Zustände ist.

Beispiel für den Nerode-Automaten

Für die Sprache $L=\{a{b}^n\mid n\in \mathbb{N}\}$:

• Der Index ist 3, was die Zustände $[ϵ{]}_{{\sim }_L}$, $[a{]}_{{\sim }_L}$, und $[ab{]}_{{\sim }_L}$ usw. umfasst.
• Der DFA akzeptiert Wörter, die mit ‘a’ beginnen, gefolgt von einer beliebigen Anzahl von ‘b’s.

Diese theoretischen Grundlagen sind essentiell für das Verständnis, wie formale Sprachen durch Automaten erkannt und verarbeitet werden können, und bieten eine klare Methode, um die Komplexität von Automaten zu minimieren.

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VL 05-b

Vorabzusammenfassung

Definitionen und wichtige Formeln

1. Chomsky-Normalform: Eine kontextfreie Grammatik (CFG) ist in Chomsky-Normalform, wenn jede Produktion die Form $A\to BC$ oder $A\to a$ hat, wobei $A,B,C$ Variablen und $a$ ein Terminalsymbol ist.

   Beispiel: Gegeben sei die CFG $G=\{V,\Sigma ,P,S\}$, wobei:

   • $V=\{A,B,C\}$
   • $\Sigma =\{a,b\}$
   • $P=\{A\to BC,B\to a,C\to b\}$
   • $S=A$ Diese CFG ist in Chomsky-Normalform.

2. Herstellung der Chomsky-Normalform: Die Umwandlung einer beliebigen CFG in Chomsky-Normalform umfasst mehrere Schritte, darunter das Entfernen von $ϵ$-Produktionen, das Vereinfachen von Einheitsproduktionen und das Ersetzen von Terminalsymbolen in bestimmten Kontexten.

Anwendung und Bedeutung

• Die Chomsky-Normalform ist wesentlich für den CYK-Algorithmus, der entscheidet, ob ein Wort von einer gegebenen CFG erzeugt wird.
• Sie erleichtert auch den Beweis von Eigenschaften kontextfreier Sprachen.

Die Chomsky-Normalform

Die Chomsky-Normalform (CNF) ist eine spezielle Form der Darstellung einer kontextfreien Grammatik, die in der theoretischen Informatik verwendet wird, um verschiedene Algorithmen und Beweise zu vereinfachen. Hier sind die wichtigsten Aspekte zusammengefasst.

Definition der Chomsky-Normalform

Eine kontextfreie Grammatik ist in der Chomsky-Normalform, wenn alle ihre Produktionen entweder die Form $A\to BC$ oder $A\to a$ haben, wobei:

• $A,B,C$ Variablen (Nichtterminale) sind,
• $a$ ein Terminalsymbol ist,
• und $B$ und $C$ nicht das Startsymbol sein dürfen.

Beispiele:

• Eine Produktion wie $A\to (B)(C)$ ist nicht in CNF, weil die Symbole in Klammern stehen.
• Eine Produktion wie $A\to a$ oder $B\to CD$ ist in CNF.

Umwandlung in die Chomsky-Normalform

Die Umwandlung einer CFG in die CNF umfasst mehrere Schritte:

1. Entfernen von $ϵ$-Produktionen: Produktionen, die direkt das leere Wort $ϵ$ erzeugen, werden entfernt, außer das Startsymbol erzeugt direkt $ϵ$.
2. Entfernen von Einheitsproduktionen: Produktionen der Form $A\to B$, wobei $B$ eine Variable ist, werden entfernt, indem man $B$ durch die rechten Seiten der Produktionen ersetzt, in denen $B$ erscheint.
3. Ersetzen von Terminalsymbolen: In Produktionen, die mehr als ein Symbol auf der rechten Seite enthalten, werden Terminalsymbole durch neue Variablen ersetzt, und es werden entsprechende neue Produktionen für diese Variablen eingeführt.
4. Zerlegen langer rechter Seiten: Produktionen, die mehr als zwei Symbole auf der rechten Seite enthalten, werden durch mehrere Produktionen ersetzt, die die CNF-Struktur haben.

Beispiel für die Umwandlung

Gegeben sei die CFG $G=\{V,\Sigma ,P,S\}$ mit $P$ beinhaltet:

• $A\to aAa|B$
• $B\to b$

Die Umwandlung in die CNF würde folgende Schritte erfordern:

1. Ersetze jedes Terminal in einer Kontextproduktion durch eine neue Variable.
2. Zerlege alle langen Produktionen in mehrere kürzere.

Durch diese Umwandlung wird die Analyse und Verarbeitung der Grammatik für bestimmte Algorithmen, wie den CYK-Algorithmus, optimiert.

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VL 05-c

Vorabzusammenfassung

Definitionen und wichtige Formeln

1. Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen: Das Lemma gibt an, dass jede kontextfreie Sprache $L$ eine “Pumping”-Eigenschaft besitzt. Für jedes lange genug Wort $z$ aus $L$ existiert eine Zerlegung $z=uvwxy$ so, dass:
   • $|vx|\ge 1$
   • $|vwx|\le n$
   • $u{v}^{i}w{x}^{i}y\in L$ für alle $i\ge 0$.
2. Anwendung des Pumping-Lemmas: Das Lemma wird typischerweise genutzt, um zu zeigen, dass eine Sprache nicht kontextfrei ist, indem man einen Widerspruch herleitet, wenn man annimmt, dass sie die Pumping-Eigenschaft besitzt.

Beispiele und Beweisstrategie

• Um zu zeigen, dass eine Sprache nicht kontextfrei ist, wählt man ein spezifisches Wort und zerlegt es gemäß den Bedingungen des Lemmas. Dann demonstriert man, dass für einige $i$, $u{v}^{i}w{x}^{i}y$ nicht in $L$ liegt.
• Beispiel: Für die Sprache $L=\{a^i{b}^i{c}^i|i\in \mathbb{N}\}$ zeigt man, dass keine Aufteilung die Pumping-Bedingungen erfüllt, ohne die Sprachstruktur zu brechen.

Das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen

Das Pumping-Lemma ist ein wichtiges Werkzeug in der Theorie der formalen Sprachen, um die Kontextfreiheit von Sprachen zu untersuchen.

Grundlagen des Pumping-Lemmas

Kontextfreie Sprachen besitzen die Fähigkeit, bestimmte Muster “aufzupumpen”. Das bedeutet, dass Teile des Wortes wiederholt werden können, ohne dass sie aufhören, zur Sprache zu gehören. Dies wird formal durch das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen beschrieben, das besagt:

• Jede kontextfreie Sprache hat die Pumping-Eigenschaft.

Beweis und Anwendung

Beweis des Lemmas

Der Beweis nutzt die Struktur eines Syntaxbaumes einer kontextfreien Grammatik in Chomsky-Normalform:

• Wenn ein Wort lang genug ist, muss es einen Pfad im Baum geben, der eine bestimmte Länge überschreitet, was bedeutet, dass einige Variablen im Pfad wiederholt werden müssen. Diese Wiederholung ermöglicht das “Pumpen”.

Anwendung des Lemmas

Die Anwendung des Pumping-Lemmas besteht darin, zu zeigen, dass bestimmte Sprachen nicht kontextfrei sind:

• Man nimmt an, dass die Sprache die Pumping-Eigenschaft besitzt.
• Dann findet man ein spezifisches Wort und eine Zerlegung, die zu einem Widerspruch führt, wenn man versucht, das Wort aufzupumpen.

Beispiele

• Die Sprache $L=\{a^i{b}^i{c}^i|i\ge 0\}$ ist ein klassisches Beispiel, bei dem das Pumping-Lemma zeigt, dass sie nicht kontextfrei ist, da keine Zerlegung existiert, die alle Bedingungen erfüllt.

Dieses Lemma ist ein zentrales Instrument, um die Grenzen der Kontextfreiheit zu verstehen und zu demonstrieren, dass bestimmte Sprachen diese Grenzen überschreiten.

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