📌 Statistisches Testen – Cheat Sheet

🔍 1. Einführung in statistisches Testen

Ziel: Überprüfung einer wissenschaftlichen Hypothese anhand empirischer Daten.
Grundlage: Vergleich von beobachteten Daten mit einem erwarteten Muster unter einer Nullhypothese $H_{0}$ .
Beispiel: Ein Mediziner vermutet, dass Babys, deren Mütter einem bestimmten Risiko ausgesetzt waren, ein geringeres Geburtsgewicht haben als 3500g.

📊 2. Hypothesen & Testentscheidung

Nullhypothese ( $H_{0}$ ): Es gibt keinen Unterschied / Effekt.
Alternativhypothese ( $H_{1}$ ): Es gibt einen Unterschied / Effekt.
Zweiseitiger Test: Prüfung auf jede Abweichung von $H_{0}$ .
Einseitiger Test: Prüfung nur auf eine bestimmte Richtung der Abweichung.

Beispiel für zweiseitigen Test:

H_{0} : μ = 3500, H_{1} : μ \neq = 3500

📈 3. Fehlerarten & Signifikanzniveau

Entscheidung	$H_{0}$ ist wahr	$H_{0}$ ist falsch
$H_{0}$ nicht verwerfen	Richtige Entscheidung	Fehler II. Art ( $β$ )
$H_{0}$ verwerfen	Fehler I. Art ( $α$ )	Richtige Entscheidung

Fehler I. Art ( $α$ ): Fälschliches Ablehnen von $H_{0}$ (falsch-positiv).
Fehler II. Art ( $β$ ): Fälschliches Beibehalten von $H_{0}$ (falsch-negativ).
Signifikanzniveau ( $α$ ): Wahrscheinlichkeit eines Fehlers I. Art, typischerweise 5% ( $0.05$ ) oder 1% ( $0.01$ ).

📊 4. Teststatistik & Ablehnungsbereich

Die Teststatistik vergleicht die Stichprobenwerte mit der Annahme von $H_{0}$ .
Ablehnungsbereich: Bereich, in dem $H_{0}$ verworfen wird.
Beispiel für den t-Test für eine Stichprobe:

T = \frac{X ˉ - μ _{0}}{S / n}

$H_{0}$ wird abgelehnt, falls:

∣ T ∣ \geq t_{n - 1, 1 - α /2}

🧪 5. t-Test für eine Stichprobe

Voraussetzung:

Die Zufallsvariable ist normalverteilt: $X \sim N (μ, σ^{2})$ .
Die Stichprobe ist unabhängig.

Teststatistik:

T = \frac{X ˉ - μ _{0}}{S / n}

wobei

$\overset{ˉ}{X}$ = Stichprobenmittelwert,
$S$ = Stichprobenstandardabweichung,
$n$ = Stichprobengröße.
Unter $H_{0}$ gilt:
$T \sim t_{n - 1}$

📉 6. Multiples Testen & Fehlerkontrolle

Problem: Werden viele Tests gleichzeitig durchgeführt, steigt die Wahrscheinlichkeit für Fehler I. Art.
Lösung:
- Bonferroni-Korrektur: Anpassung des Signifikanzniveaus $α^{*} = \frac{α}{k}$ .
- Holm-Bonferroni-Verfahren: Schrittweise Anpassung.
- False Discovery Rate (FDR): Kontrolle des erwarteten Anteils der falsch-positiven Ergebnisse.

📊 7. Power eines Tests & Fallzahlplanung

Power ( $1 - β$ ): Wahrscheinlichkeit, einen existierenden Effekt zu entdecken.
Abhängig von:
- Stichprobengröße ( $n$ ),
- Variabilität ( $σ$ ),
- Signifikanzniveau ( $α$ ),
- Effektgröße.

Formel für Power eines zweiseitigen Tests:

1 - β = P (T > t_{n - 1, 1 - α /2} ∣ H_{1} wahr)

📊 8. Testen in verschiedenen Datensituationen

1-Stichproben-Tests

t-Test für eine Stichprobe
Wilcoxon-Vorzeichentest (nicht-parametrisch)

2-Stichproben-Tests

Unverbundener t-Test
Gepaarter t-Test
Mann-Whitney-U-Test (nicht-parametrisch)

Mehrstichproben-Tests

ANOVA (Varianzanalyse)
Kruskal-Wallis-Test (nicht-parametrisch)

📊 9. Tests für Zusammenhänge

Chi-Quadrat-Test ( $χ^{2}$ ) für Unabhängigkeit: $χ^{2} = i = 1 \sum I j = 1 \sum J \frac{( O _{ij} - E _{ij} ) ^{2}}{E _{ij}}$
Pearson-Korrelationstest $r = \frac{\sum ( X _{i} - X ˉ ) ( Y _{i} - Y ˉ )}{\sum ( X _{i} - X ˉ ) ^{2} \sum ( Y _{i} - Y ˉ ) ^{2}}$

📊 10. p-Wert & Bayes-Faktor

p-Wert: Wahrscheinlichkeit, unter $H_{0}$ ein mindestens so extremes Ergebnis zu erhalten.
- $p \leq α$ → Ablehnung von $H_{0}$ .
- $p > α$ → Beibehaltung von $H_{0}$ .
Bayes-Faktor: Verhältnis der Wahrscheinlichkeit der Daten unter $H_{1}$ zu $H_{0}$ .
$BF = \frac{P ( D a t e n ∣ H _{1} )}{P ( D a t e n ∣ H _{0} )}$
- $BF > 1$ spricht für $H_{1}$ .
- $BF < 1$ spricht für $H_{0}$ .

📌 11. Wichtige Regeln für statistisches Testen

✅ Hypothesen müssen vorab definiert werden.
✅ Signifikanzniveau ( $α$ ) muss vorab festgelegt werden.
✅ Ergebnisse müssen korrekt interpretiert werden (klinische vs. statistische Relevanz).
✅ Multiples Testen muss kontrolliert werden.
✅ Ein nicht signifikantes Ergebnis bedeutet nicht, dass es keinen Effekt gibt (Power beachten!).

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