EiMedBiom-ÜB4-Cheatsheet

📌 Übungsblatt 4 – Cheat Sheet

Hier die Lösung zum Blatt: EiMedBiom - Blatt 4

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📊 1. Confounding & Logistische Regression

Thema: Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Staubbelastung und chronischer Bronchitis unter Berücksichtigung von Raucherstatus und Expositionsdauer.

a) Datenüberblick

• Datensatz: Enthält Variablen:
  • $Y$ = chronische Bronchitis (ja/nein)
  • $X_1$ = Staubbelastung (${\text{mg/m}}^3$)
  • $X_2$ = Raucherstatus (ja/nein)
  • $X_3$ = Belastungsdauer (Jahre)
• Ziel: Explorative Datenanalyse, um Verteilungen und Zusammenhänge zu identifizieren.

b) Logistische Regression (unadjustiert)

• Modellform: $$\log \left(\frac{P(Y=1)}{1-P(Y=1)}\right)={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1$$
• Ziel: Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Staubbelastung und Bronchitis ohne Confounder.

c) Logistische Regression (adjustiert)

• Erweiterung des Modells: $$\log \left(\frac{P(Y=1)}{1-P(Y=1)}\right)={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+{\beta }_3{X}_3$$
• Frage: Ist die Beziehung zwischen Staubbelastung und Bronchitis durch Rauchen/Belastungsdauer beeinflusst (Confounding)?

d) Wald-Test

• Hypothesen:
  • $H_0:{\beta }_1=0$ → Kein Zusammenhang zwischen Staubbelastung und Bronchitis.
  • $H_1:{\beta }_1\ne 0$ → Zusammenhang existiert.
• Teststatistik: $$Z=\frac{{\hat{\beta }}_1}{SE({\hat{\beta }}_1)}$$ mit Standardfehler $SE({\hat{\beta }}_1)$.
• Ablehnung bei $|Z|>z_{1-\alpha /2}$ (z. B. 1.96 für $\alpha =0.05$).

e) Interpretation der Regressionsergebnisse

• Bedeutung der Regressionskoeffizienten:
  • ${\beta }_1$: Zusammenhang von Staubbelastung und Bronchitis.
  • ${\beta }_2$: Effekt von Rauchen auf Bronchitis.
  • ${\beta }_3$: Effekt der Belastungsdauer.
• Signifikanzbewertung: Ist $p<\alpha$, sind die Effekte statistisch signifikant.

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📉 2. Hypothesentest für Geburtsgewicht

Thema: Vergleich des mittleren Geburtsgewichts von Babys von Risiko-Patientinnen mit dem bekannten Mittelwert aus der Literatur.

a) Hypothesenformulierung

• Nullhypothese ($H_0$): $\mu =3500$ g (kein Unterschied zum bekannten Wert).
• Alternativhypothese ($H_1$): $\mu \ne 3500$ g (signifikanter Unterschied).

b) Teststatistik

• t-Test für eine Stichprobe: $$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}$$ wobei:
  • $\bar{X}$ = beobachteter Mittelwert (3280 g),
  • $S$ = Standardabweichung (490 g),
  • $n$ = Stichprobengröße (20),
  • ${\mu }_0=3500$.

c) Testentscheidung

• Vergleich der Teststatistik mit der kritischen Schranke:
  • Falls $|T|>t_{n-1,1-\alpha /2}$, dann Ablehnung von $H_0$.

d) Interpretation

• Falls $H_0$ verworfen wird → signifikanter Unterschied.
• Falls $H_0$ beibehalten wird → kein statistisch signifikanter Unterschied.

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📊 3. Family-Wise Error Rate (FWER) vs. False Discovery Rate (FDR)

Thema: Kontrolle der Fehlerwahrscheinlichkeit bei multiplen Tests.

a) Spezialfall $k=1$

• Wenn nur ein Test durchgeführt wird: $$\text{FDR}=\text{FWER}$$
• Interpretation:
  • FWER = Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein falsch-positives Ergebnis auftritt.
  • FDR = Erwarteter Anteil falsch-positiver Ergebnisse an allen signifikanten Befunden.

b) Allgemeine Beziehung $\text{FDR}\le \text{FWER}$

• FWER ist konservativer als FDR.
• FWER-Korrekturen (z. B. Bonferroni) sind strenger, während FDR-basierte Methoden (z. B. Benjamini-Hochberg) weniger konservativ sind.

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📊 4. Vergleich zweier Therapieerfolge

Thema: Vergleich der Erfolgsraten einer neuen Therapie mit der Standardtherapie in einer klinischen Studie.

a) 2x2-Kreuztabelle

	Erfolg	Kein Erfolg	Gesamt
Neue Therapie	35	15	50
Standardtherapie	25	25	50

b) Hypothesentest

• Nullhypothese $H_0$: Erfolgsraten sind gleich.
• Alternativhypothese $H_1$: Erfolgsraten unterscheiden sich.
• Teststatistik (Chi-Quadrat-Test oder Z-Test): $$Z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{p(1-p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$$ mit:
  • $p_1,p_2$ = beobachtete Erfolgsraten in beiden Gruppen,
  • $p$ = gepoolte Erfolgsrate.

c) p-Wert-Berechnung mit R

• Vergleich des p-Werts mit $\alpha =0.05$, um zu prüfen, ob die Unterschiede signifikant sind.

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📌 Fazit

✅ Confounding & logistische Regression: Adjustierte vs. unadjustierte Schätzungen vergleichen.
✅ Wald-Test zur Hypothesentestung in Regressionen.
✅ Ein-Stichproben-t-Test zur Untersuchung von Mittelwertsunterschieden.
✅ FWER vs. FDR: Multiples Testen und Fehlerkontrolle.
✅ Vergleich von Therapieerfolgen mit Kreuztabellen und statistischen Tests.

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