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📊 Konfidenzintervalle – Wann mit und wann ohne Logarithmus?

In der Statistik gibt es beim Konfidenzintervall (KI) verschiedene Vorgehensweisen, je nachdem, welche Kenngröße geschätzt wird. Die wichtigste Unterscheidung ist:

Differenz-Maße	Ratio-Maße
Additive Kennzahlen	Multiplikative Kennzahlen
Beispiele: Mittelwert- oder Anteilsunterschiede	Beispiele: Odds Ratio (OR), Relatives Risiko (RR), Hazard Ratio (HR)

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🔎 1. Differenz-Maße (ohne Log)

Beispiele

• Mittelwertunterschied: ${\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2$
• Anteilsunterschied: $p_1-p_2$
• Risk Difference: $\mathrm{RD}={\mathrm{Inzidenz}}_{\text{exponiert}}-{\mathrm{Inzidenz}}_{\text{nicht-exponiert}}$

📝 Warum keine Logarithmus-Transformation?

• Bei additiven Größen (z. B. Mittelwert minus Mittelwert) kann man den Standardfehler direkt bestimmen.
• Solche Differenzen haben meist (bei größeren Stichproben) eine annähernd normalverteilte Schätzverteilung.
• Ein typisches KI lautet: $$\text{Scha¨tzwert}\pm {\mathrm{z}}_{\alpha /2}\times \mathrm{SE}(\text{Scha¨tzwert}).$$
• Beispiel: Unterschied im systolischen Blutdruck (mmHg) zwischen zwei Gruppen.

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🔄 2. Ratio-Maße (mit Log)

Beispiele

• Odds Ratio: $\mathrm{OR}=\frac{{\text{Odds}}_1}{{\text{Odds}}_2}$
• Relatives Risiko: $\mathrm{RR}=\frac{{\mathrm{Risiko}}_{\text{exponiert}}}{{\mathrm{Risiko}}_{\text{nicht-exponiert}}}$
• Hazard Ratio: $\mathrm{HR}=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}$

💡 Warum Logarithmus?

• Multiplikative Größen (OR, RR, HR) verhalten sich auf der Log-Skala additiv.

• $\ln (\mathrm{OR})$, $\ln (\mathrm{RR})$ etc. sind näherungsweise normalverteilt (bei großen Stichproben).

• Der Standardfehler bezieht sich auf die Logarithmus-Skala und ist einfacher zu bestimmen.

• Typische KI-Berechnung:

  1. $\mathrm{OR}$ schätzen.
  2. $\ln (\mathrm{OR})$ berechnen.
  3. Standardfehler auf Log-Skala $\mathrm{SE}(\ln (\mathrm{OR}))$ bestimmen.
  4. $\ln (\mathrm{OR})\pm z_{\alpha /2}\times \mathrm{SE}(\ln (\mathrm{OR}))$.
  5. Exponentieren der Grenzen → KI auf OR-Skala.

Beispiel (Odds Ratio in einer gepaarten Fall-Kontroll-Studie):

$$\mathrm{OR}=\frac{b}{c},$$ $$\ln (\mathrm{OR})\pm 1,96\times \sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}.$$

Danach Grenzen exponentieren für das finale 95%-KI.

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⚠️ Wichtig!

• Differenz? Kein Log nötig (direkte KI-Bildung).
• Verhältnis (Ratio)? Immer Log-Transformation, dann exponentieren.

Somit gilt als Faustregel:

• „Additive Differenzen“ → KI ohne Logarithmus
• „Multiplikative Ratios“ → KI auf Log-Skala und anschließend exponentiell zurückrechnen.

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🎉 Fazit

• Für Odds Ratios berechnet man stets $\ln (\mathrm{OR})$ und nicht direkt $\mathrm{OR}$ $\pm$ Standardfehler, weil die Verteilung und der SE auf der Log-Skala wesentlich passender sind.
• Bei Differenzen (z. B. Mittelwertunterschied, Risikodifferenz) bleibt man auf der Originalskala.

Merksatz:

• Unterschiede → kein Log
• Verhältnisse → Log!

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