Mantel-Haenszel-Schätzer

Mantel-Haenszel-Schätzer: Eine Einführung

Was ist der Mantel-Haenszel-Schätzer?

Der Mantel-Haenszel-Schätzer (MH) wird verwendet, um ein adjustiertes Odds Ratio zu berechnen, wenn Daten in Schichten (z. B. Altersgruppen, Geschlechter) aufgeteilt sind. Dies ist besonders wichtig, wenn eine Störvariable (z. B. Alter) die Beziehung zwischen zwei Variablen beeinflusst, wie beispielsweise Rauchen und Überleben.

Warum verwenden wir den Mantel-Haenszel-Schätzer?

• Um Verzerrungen durch Störvariablen zu kontrollieren.
• Um den Zusammenhang zwischen zwei Variablen (z. B. Rauchen und Überleben) unabhängig von Schichtunterschieden zu analysieren.
• Im Vergleich zu einem unadjustierten Odds Ratio liefert der MH-Schätzer ein genaueres Bild.

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Die Formel des Mantel-Haenszel-Schätzers

Für $G$ Schichten (z. B. Altersgruppen) lautet die Formel:

$${\widehat{\text{OR}}}_{MH}=\frac{{\sum }_{s=1}^G\frac{n_{11}^{(s)}\cdot n_{22}^{(s)}}{n_{\cdot \cdot }^{(s)}}}{{\sum }_{s=1}^G\frac{n_{12}^{(s)}\cdot n_{21}^{(s)}}{n_{\cdot \cdot }^{(s)}}}$$

Begriffe:

• $s$: Schicht (z. B. Altersgruppe)
• $n_{ij}^{(s)}$: Einträge der Vierfeldertafel in der $s$-ten Schicht:
  • $n_{11}^{(s)}$: Nicht-Raucher, nicht verstorben
  • $n_{12}^{(s)}$: Raucher, nicht verstorben
  • $n_{21}^{(s)}$: Nicht-Raucher, verstorben
  • $n_{22}^{(s)}$: Raucher, verstorben
• $n_{\cdot \cdot }^{(s)}$: Gesamtanzahl in der Schicht $s$

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Beispiel: Rauchen und Überleben (EiMedBiom - Blatt 3)

Eine Studie untersucht den Zusammenhang zwischen Rauchgewohnheiten und dem Überleben in verschiedenen Altersgruppen. Die Daten sind in Vierfeldertafeln organisiert:

Altersgruppe	$n_{11}^{(s)}\cdot n_{22}^{(s)}$	$n_{12}^{(s)}\cdot n_{21}^{(s)}$	$n^{(s)}$
18-24 Jahre	122	53	117
25-34 Jahre	456	605	281
35-44 Jahre	1596	665	230
45-54 Jahre	1782	1236	208
55-64 Jahre	4131	2560	236
65-74 Jahre	812	707	165
Über 75 Jahre	0	0	77

Berechnung der Zähler und Nenner:

1. Für jede Schicht $s$, berechne:

   • Zähler: $\frac{n_{11}^{(s)}\cdot n_{22}^{(s)}}{n^{(s)}}$
   • Nenner: $\frac{n_{12}^{(s)}\cdot n_{21}^{(s)}}{n^{(s)}}$

2. Summiere die Zähler und Nenner über alle Schichten:

   $$\text{Za¨hler-Summe}=\sum _{s=1}^G\frac{n_{11}^{(s)}\cdot n_{22}^{(s)}}{n^{(s)}}$$ $$\text{Nenner-Summe}=\sum _{s=1}^G\frac{n_{12}^{(s)}\cdot n_{21}^{(s)}}{n^{(s)}}$$

3. Setze die Summen in die Formel ein:

   $${\widehat{\text{OR}}}_{MH}=\frac{\text{Za¨hler-Summe}}{\text{Nenner-Summe}}$$

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Beispielrechnung:

1. Zähler-Summe:

   $$\text{Za¨hler-Summe}=\frac{122}{117}+\frac{456}{281}+\frac{1596}{230}+\frac{1782}{208}+\frac{4131}{236}+\frac{812}{165}+\frac{0}{77}$$ $$\text{Za¨hler-Summe}\approx 40.598$$

2. Nenner-Summe:

   $$\text{Nenner-Summe}=\frac{53}{117}+\frac{605}{281}+\frac{665}{230}+\frac{1236}{208}+\frac{2560}{236}+\frac{707}{165}+\frac{0}{77}$$ $$\text{Nenner-Summe}\approx 27.570$$

3. Mantel-Haenszel-Schätzer:

   $${\widehat{\text{OR}}}_{MH}=\frac{40.598}{27.570}\approx 1.473$$

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Interpretation:

Ein Odds Ratio von $1.473$ bedeutet:

• Raucher haben eine 47,3 % höhere Wahrscheinlichkeit, nicht zu überleben (im Vergleich zu Nicht-Rauchern).
• Der Mantel-Haenszel-Schätzer berücksichtigt Altersunterschiede und liefert ein adjustiertes Ergebnis, im Gegensatz zum unadjustierten Odds Ratio.

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Vergleich mit dem Chi-Quadrat-Test:

• Mantel-Haenszel-Schätzer: Liefert ein Odds Ratio, das die Schichtung berücksichtigt.
• Chi-Quadrat-Test: Testet die Signifikanz des Zusammenhangs zwischen den Variablen.

Beide Methoden ergänzen sich, haben aber unterschiedliche Ziele.

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Fazit:

Der Mantel-Haenszel-Schätzer ist ein mächtiges Werkzeug, um den Zusammenhang zwischen zwei Variablen zu messen, während Störvariablen kontrolliert werden. Besonders in Studien mit Schichtungen wie Alter oder Geschlecht ist er unverzichtbar.

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