Erklärung: Warum wir die Differenz der Log-Odds verwenden und nicht die Division 🧮❌➗

In diesem Markdown-Dokument erklären wir, warum wir in der logistischen Regression das Odds Ratio (OR) durch Subtraktion der Log-Odds und anschließendes Exponentieren berechnen und nicht durch Division der Log-Odds.

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1. Grundkonzept der Log-Odds und des Odds Ratio 🎯

• Log-Odds:
  Beim logistischen Regressionsmodell wird der Logarithmus der Odds berechnet:

  $$\log \left(\frac{p}{1-p}\right)={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+\cdots +{\beta }_k{x}_k$$

  Jeder Datensatz oder jede Gruppe erhält damit einen Wert, den log-odds.

• Odds Ratio (OR):
  Das Odds Ratio vergleicht die Odds zweier Gruppen.
  Sei:

  • ${\text{odds}}_A$ für Gruppe A
  • ${\text{odds}}_B$ für Gruppe B
    Dann ist: $$\text{OR}=\frac{{\text{odds}}_A}{{\text{odds}}_B}$$

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2. Warum Differenz und nicht Division? 🤔➡️➖

Mathematischer Hintergrund 🔍

• Eigenschaft des Logarithmus:
  Der Logarithmus verwandelt Multiplikationen in Additionen. Das bedeutet:

  $$\log (a)-\log (b)=\log \left(\frac{a}{b}\right)$$

  Wichtig:
  Es gibt keine analoge Regel, die eine Division von Logarithmen in eine Division der Originalzahlen umwandelt:

  $$\frac{\log (a)}{\log (b)}\ne \log \left(\frac{a}{b}\right)$$

• Schritt-für-Schritt:

  1. Log-Odds berechnen:
     Für beide Gruppen erhältst du Log-Odds $L_A$ und $L_B$.
  2. Differenz der Log-Odds: $$\Delta =L_A-L_B$$
  3. Exponentiation:
     Daraus folgt das Odds Ratio: $$\text{OR}=e^{\Delta }=e^{(L_A-L_B)}$$

Dein Fehler: Division ❌➗

Du hattest versucht:

$$\frac{L_A}{L_B}$$

aber das ergibt nicht das Odds Ratio.
Denn:

• Die Division der Log-Odds hat keine sinnvolle Interpretation im Kontext der ursprünglichen Odds.
• Sie übersetzt sich nicht in den Quotienten der Odds, da der Logarithmus nicht linear in diesem Sinn ist.

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3. Beispiel zur Veranschaulichung 📊

Stell dir vor, wir haben zwei Gruppen mit folgenden Log-Odds:

• Gruppe A: $L_A=1.8831$
• Gruppe B: $L_B=0.94118$

Richtige Berechnung:

1. Differenz: $$\Delta =1.8831-0.94118\approx 0.94192$$
2. Exponentiation: $$\text{OR}=e^{0.94192}\approx 2.56$$

Falsche Berechnung (Division):

$$\frac{1.8831}{0.94118}\approx 2.00\text{(falsch)}$$

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4. Zusammenfassung 📌

• Richtig:

  $$\text{OR}=e^{(L_A-L_B)}$$

  (Differenz der Log-Odds und dann exponentieren)

• Falsch:

  $$\text{OR}\ne \frac{L_A}{L_B}$$

  (Direkte Division der Log-Odds ist nicht korrekt)

Diese Vorgehensweise stellt sicher, dass wir den mathematisch korrekten Zusammenhang zwischen den Log-Odds und dem Odds Ratio beibehalten.

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