Poisson-Regression

Poisson-Regression: Eine Einführung

Einführung

Die Poisson-Regression ist ein statistisches Verfahren, das verwendet wird, um die Anzahl von Ereignissen in einem festen Zeitraum oder Raum zu modellieren. Sie ist besonders nützlich, wenn die abhängige Variable eine Zählvariable ist, also nur nicht-negative ganze Zahlen annehmen kann. Diese Methode basiert auf der Annahme, dass die Ereignisse einer Poisson-Verteilung folgen, was sie zu einem wichtigen Werkzeug in der Analyse von Zähldaten macht. Die Relevanz der Poisson-Regression liegt in ihrer Fähigkeit, komplexe Datenmuster zu modellieren und zu verstehen, insbesondere in Bereichen, in denen die Ereignishäufigkeit von Interesse ist.

Anwendung

Die Poisson-Regression findet in vielen Bereichen Anwendung, darunter:

Epidemiologie: Analyse der Anzahl von Krankheitsfällen in einer Population.
Ökologie: Modellierung der Häufigkeit von Tierbeobachtungen.
Versicherungsmathematik: Bestimmung der Anzahl von Schadensfällen.
Verkehrswissenschaften: Untersuchung der Anzahl von Verkehrsunfällen an einem bestimmten Ort.

Ein typisches Beispiel ist die Vorhersage der Anzahl von Anrufen bei einem Callcenter pro Stunde, basierend auf verschiedenen Einflussfaktoren wie Tageszeit oder Werbeaktionen.

Aufbau / Bestandteile

Die Poisson-Regression modelliert die erwartete Anzahl von Ereignissen $λ_{i}$ für Beobachtung $i$ als Funktion der erklärenden Variablen $X_{i}$ :

lo g (λ_{i}) = β_{0} + β_{1} X_{i 1} + β_{2} X_{i 2} + \dots + β_{k} X_{ik}

Hierbei ist $β_{0}$ der Interzept und $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{k}$ sind die Regressionskoeffizienten. Die logarithmische Verknüpfung stellt sicher, dass die vorhergesagte Anzahl von Ereignissen positiv ist.

Wichtige Begriffe

Poisson-Verteilung: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit einer Anzahl von Ereignissen in einem festen Intervall beschreibt.
Link-Funktion: In der Poisson-Regression ist die Link-Funktion der natürliche Logarithmus.

Interpretation

Die Koeffizienten der Poisson-Regression werden oft als Logarithmen von Rate Ratios interpretiert. Ein positiver Koeffizient bedeutet, dass eine Erhöhung der erklärenden Variable mit einer Zunahme der Ereignishäufigkeit assoziiert ist, während ein negativer Koeffizient auf eine Abnahme hinweist.

Praxisbeispiel

Betrachten wir ein fiktives Beispiel, in dem wir die Anzahl der Verkehrsunfälle in einer Stadt basierend auf der Anzahl der Fahrzeuge und der Wetterbedingungen modellieren möchten. Hier ist ein R-Code, der die Poisson-Regression implementiert:

# Beispiel-Daten generieren
set.seed(123)
n <- 100
fahrzeuge <- rpois(n, lambda = 20)
wetter <- rbinom(n, size = 1, prob = 0.3)
unfaelle <- rpois(n, lambda = exp(1 + 0.05 * fahrzeuge - 0.3 * wetter))
 
# Poisson-Regression durchführen
data <- data.frame(unfaelle, fahrzeuge, wetter)
modell <- glm(unfaelle ~ fahrzeuge + wetter, family = poisson(link = "log"), data = data)
 
# Ergebnisse anzeigen
summary(modell)

Erweiterungen

Negative Binomial-Regression: Eine Erweiterung der Poisson-Regression, die bei Overdispersion (wenn die Varianz die mittlere Rate übersteigt) verwendet wird.
Zero-Inflated Modelle: Diese Modelle berücksichtigen übermäßige Nullen in den Daten, was in vielen realen Anwendungen der Fall ist.

Fazit

Die Poisson-Regression ist ein mächtiges Werkzeug zur Analyse von Zähldaten. Sie ermöglicht es, die Beziehung zwischen Zählvariablen und erklärenden Variablen zu modellieren und zu interpretieren. Bei der Anwendung sollte jedoch auf Annahmen wie die Varianzstruktur geachtet werden, um valide Ergebnisse zu erzielen. In der Praxis kann die Poisson-Regression durch Erweiterungen wie die Negative Binomial-Regression ergänzt werden, um spezifische Datencharakteristika zu berücksichtigen.

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142. Poisson-Regression (af8e)