📌 Assoziationsmaße – Cheat Sheet

🔍 1. Einführung in Assoziationsmaße

Assoziationsmaße beschreiben den Zusammenhang zwischen zwei Variablen.
Unterscheidung nach Skalenniveau:
- Metrische Variablen: Korrelation (z. B. Pearson, Spearman).
- Binäre Variablen: Risiko, Odds Ratio, relatives Risiko.

📊 2. Assoziationsmaße für zwei metrische Variablen

Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient

Maß für linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen $X$ und $Y$ . $r_{X Y} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( X _{i} - X ˉ ) ( Y _{i} - Y ˉ )}{\sum _{i = 1}^{n} ( X _{i} - X ˉ ) ^{2} \cdot \sum _{i = 1}^{n} ( Y _{i} - Y ˉ ) ^{2}}$
Eigenschaften:
- $r_{X Y} \in [- 1, 1]$ .
- $r_{X Y} = 1$ → Perfekter positiver linearer Zusammenhang.
- $r_{X Y} = - 1$ → Perfekter negativer linearer Zusammenhang.
- $r_{X Y} = 0$ → Kein linearer Zusammenhang.

Spearman-Korrelationskoeffizient

Monotoner Zusammenhang (auch nicht-linear).
Berechnung:
- Rangwerte der Beobachtungen bestimmen.
- Pearson-Korrelation der Ränge berechnen. $r_{S} = 1 - \frac{6 \sum d _{i}^{2}}{n ( n ^{2} - 1 )}$
Vorteile:
- Robuster gegenüber Ausreißern.
- Geeignet für nicht-lineare Zusammenhänge.

🚨 3. Artefakte der Korrelation

Schein- / Nonsense-Korrelationen

Gemeinsamkeitskorrelation: Zusammenhang entsteht durch eine dritte Variable.
- Beispiel: Anzahl der Störche korreliert mit der Geburtenrate (Dorfgröße als Confounder).
Inhomogenitätskorrelation: Zusammenhang entsteht durch Mischung verschiedener Gruppen.
- Beispiel: Schuhgröße und Einkommen (Trennung nach Geschlecht auflösen).
Selektionskorrelation: Stichprobenselektion verzerrt den Zusammenhang.
- Beispiel: Zusammenhang von zwei Krankheiten nur in Krankenhausakten beobachtet.
Korrelation durch Ausreißer: Einzelne Werte verfälschen die Berechnung.

📏 4. Vergleich zweier Messmethoden

Bland-Altman-Analyse

Untersucht Übereinstimmung zwischen zwei Messmethoden.
Diagramm: Differenz der Messwerte vs. Mittelwert der Messwerte.
Wichtige Maße:
- Mittlere Differenz (Bias):

\bar{d} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - Y_i)

- **Übereinstimmungsgrenzen (LoA)**: $$ \bar{d} \pm 1.96 \cdot \text{SD}(d_i)

Interpretation:
- Je enger die Übereinstimmungsgrenzen, desto besser die Übereinstimmung.
- Abweichungen von $0$ deuten auf systematische Fehler hin.

📊 5. Assoziationsmaße für zwei binäre Variablen

Kreuztabelle für zwei binäre Variablen:

$X = 0$ $X = 1$ Summe
$Y = 0$ $n_{11}$ $n_{12}$ $n_{1 \cdot}$
$Y = 1$ $n_{21}$ $n_{22}$ $n_{2 \cdot}$
Summe $n_{\cdot 1}$ $n_{\cdot 2}$ $n_{\cdot\cdot}$

	$X = 0$	$X = 1$	Summe
$Y = 0$	$n_{11}$	$n_{12}$	$n_{1 \cdot}$
$Y = 1$	$n_{21}$	$n_{22}$	$n_{2 \cdot}$
Summe	$n_{\cdot 1}$	$n_{\cdot 2}$	$n_{\cdot\cdot}$

Odds Ratio (OR)

Verhältnis der Chancen ( $Odds$ ) in beiden Gruppen: $\hat{OR} = \frac{n _{22} \cdot n _{11}}{n _{21} \cdot n _{12}}$
Interpretation:
- $OR > 1$ : Erhöhtes Risiko für $Y = 1$ in Gruppe $X = 1$ .
- $OR < 1$ : Geringeres Risiko für $Y = 1$ in Gruppe $X = 1$ .

Relatives Risiko (RR)

Vergleich des absoluten Risikos zwischen zwei Gruppen: $\hat{RR} = \frac{n _{22} / n _{\cdot 2}}{n _{21} / n _{\cdot 1}}$
Eigenschaften:
- $RR > 1$ : Höheres Risiko in Gruppe $X = 1$ .
- $RR < 1$ : Geringeres Risiko in Gruppe $X = 1$ .
- Nicht berechenbar in Fall-Kontroll-Studien, da Prävalenz unbekannt.

Risikodifferenz (RD)

Absolute Differenz zwischen zwei Gruppen: $\hat{R D} = \frac{n _{22}}{n _{\cdot 2}} - \frac{n _{21}}{n _{\cdot 1}}$
Vorteil: Zeigt absolute Unterschiede, nicht nur Verhältnisse.

📊 6. Konfidenzintervalle für Assoziationsmaße

Allgemeine Formel für Konfidenzintervalle (CI): $Sch \overset{a}{¨} tzer \pm z_{1 - α /2} \cdot SE$
Konfidenzintervall für OR: $[e^{l o g (\hat{OR}) - z_{1 - α /2} SE (l o g \hat{OR})}, e^{l o g (\hat{OR}) + z_{1 - α /2} SE (l o g \hat{OR})}]$ mit $SE (lo g \hat{OR}) = \frac{1}{n _{11}} + \frac{1}{n _{12}} + \frac{1}{n _{21}} + \frac{1}{n _{22}}$
Konfidenzintervall für RR: $[e^{l o g (\hat{RR}) - z_{1 - α /2} SE (l o g \hat{RR})}, e^{l o g (\hat{RR}) + z_{1 - α /2} SE (l o g \hat{RR})}]$

📌 7. Fazit

✅ Pearson-Korrelation misst linearen Zusammenhang, Spearman monotonen Zusammenhang.
✅ Schein-Korrelationen können durch Confounder oder Selektion entstehen.
✅ Bland-Altman-Analyse bewertet Messmethoden-Übereinstimmung.
✅ Odds Ratio, relatives Risiko & Risikodifferenz quantifizieren den Zusammenhang zwischen binären Variablen.
✅ Konfidenzintervalle ermöglichen eine Präzisionsbewertung der Schätzwerte.

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