📌 Übungsblatt 3 – Cheat Sheet

Hier die Lösung zum Blatt: EiMedBiom - Blatt 3

📊 1. Diagnostische Tests: Sensitivität, Spezifizität & Prädiktive Werte

a) Kontingenztafel für HIV-Test

Diagnostische Tests werden mit einer Vierfeldertafel analysiert:

	HIV-positiv ( $D = 1$ )	HIV-negativ ( $D = 0$ )	Summe
Test positiv ( $T = 1$ )	$TP$ (True Positive)	$FP$ (False Positive)	$TP + FP$
Test negativ ( $T = 0$ )	$FN$ (False Negative)	$TN$ (True Negative)	$FN + TN$
Summe	$TP + FN = P$	$FP + TN = N$	$P + N$

Sensitivität ( $SE$ ): Wahrscheinlichkeit, dass ein Kranker positiv getestet wird. $SE = \frac{TP}{TP + FN}$
Spezifizität ( $SP$ ): Wahrscheinlichkeit, dass ein Gesunder negativ getestet wird. $SP = \frac{TN}{TN + FP}$

b) Prädiktive Werte

Positiver prädiktiver Wert (PPV): Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit positivem Test wirklich krank ist.
$PP V = \frac{TP}{TP + FP}$
Negativer prädiktiver Wert (NPV): Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit negativem Test wirklich gesund ist.
$NP V = \frac{TN}{TN + FN}$
Warum ist der PPV stark von der Prävalenz abhängig?
- Je niedriger die Prävalenz, desto mehr falsch-positive Ergebnisse → PPV sinkt.
- Bei seltenen Krankheiten kann der PPV trotz hoher Sensitivität und Spezifität niedrig sein.

📉 2. Odds Ratio & Mantel-Haenszel-Schätzer

Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Rauchen und 20-Jahres-Überleben.
Vierfeldertafel für jede Altersgruppe:

Überlebt ( $Y = 1$ ) Verstorben ( $Y = 0$ )
Raucher ( $X = 1$ ) $a$ $b$
Nichtraucher ( $X = 0$ ) $c$ $d$

	Überlebt ( $Y = 1$ )	Verstorben ( $Y = 0$ )
Raucher ( $X = 1$ )	$a$	$b$
Nichtraucher ( $X = 0$ )	$c$	$d$

a) Unadjustiertes Odds Ratio (OR)

Beschreibt die Chancen eines Ereignisses in einer Gruppe im Vergleich zur anderen:
$OR = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$
Interpretation:
- $OR > 1$ → Rauchen ist mit einer höheren Sterbewahrscheinlichkeit assoziiert.
- $OR < 1$ → Rauchen ist mit einer geringeren Sterbewahrscheinlichkeit assoziiert (unwahrscheinlich).

b) Mantel-Haenszel-Schätzer

Berechnet ein adjustiertes Odds Ratio über mehrere Strata (Altersgruppen):
$\hat{OR}_{M H} = \frac{\sum _{s = 1}^{G} n _{11}^{(s)} n _{22}^{(s)} / n _{\cdot\cdot}^{(s)}}{\sum _{s = 1}^{G} n _{12}^{(s)} n _{21}^{(s)} / n _{\cdot\cdot}^{(s)}}$
Warum ist das wichtig?
- Das unadjustierte OR könnte verzerrt sein, wenn Altersgruppen als Confounder nicht berücksichtigt werden.
- Der Mantel-Haenszel-Schätzer korrigiert für Altersunterschiede.

📊 3. Multiple Regression & Interaktionseffekte

Erstellung einer linearen Regressionsfunktion: $y_{i} = x_{1, i} + 2 x_{2, i} + 10 x_{1, i} x_{2, i} + ε, ε \sim N (0, 1)$

a) Variablenarten

$x_{1}$ : Gleichverteilte kontinuierliche Variable ( $U (0, 1)$ ).
$x_{2}$ : Binomialverteilte Dummy-Variable ( $B in (1, 0.5)$ ).

b) Naives vs. vollständiges Modell

Naives Modell: Enthält nur $x_{1}$ , ignoriert $x_{2}$ und deren Wechselwirkung. $y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{1} + ε$
Vollständiges Modell: Enthält $x_{1}, x_{2}$ und die Interaktion $x_{1} x_{2}$ . $y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{1} + β_{2} x_{2} + β_{3} x_{1} x_{2} + ε$

c) Interpretation der Interaktion

Warum ist $x_{2}$ wichtig?
- $x_{2}$ könnte ein Confounder sein.
- Falls $x_{1} x_{2}$ signifikant ist, bedeutet das, dass die Wirkung von $x_{1}$ von $x_{2}$ abhängt.

d) Visualisierung

Regressionsgeraden für unterschiedliche Werte von $x_{2}$ :
- $x_{2} = 0$ → Effekt von $x_{1}$ alleine.
- $x_{2} = 1$ → Effekt von $x_{1}$ + Interaktionseffekt.
- Falls Interaktion signifikant, haben die Geraden unterschiedliche Steigungen.

📊 4. Simulationsstudie mit Mehrdimensionaler Normalverteilung

Ziel: Generierung synthetischer Daten für eine Regressionsanalyse.
Multivariate Normalverteilung:
$X \sim N (μ, Σ)$

Code-Snippet für R:

library(mvtnorm)
set.seed(123)
n <- 300
 
mu1 <- c(1,1)
mu2 <- c(7,3)
sigma1 <- matrix(c(1,-,-,1), ncol = 2)
sigma2 <- matrix(c(1.5,-,-,1), ncol = 2)
 
x1 <- rmvnorm(n, mu1, sigma1)
x2 <- rmvnorm(n, mu2, sigma2)
 
data <- data.frame(rbind(x1,x2))
data$cat <- rep(c(T, F), each = n)
names(data) <- c("y", "x1", "x2")

Was passiert hier?
- Erstellung von korrelierten Daten mit unterschiedlichen Mittelwerten und Kovarianzmatrizen.
- Variable $x_{2}$ beeinflusst die Struktur der Daten.

📌 Fazit

✅ Diagnostische Tests: Sensitivität, Spezifizität, prädiktive Werte berechnen & interpretieren.
✅ Odds Ratio und Mantel-Haenszel-Schätzer: Vergleich von adjustierten und unadjustierten Effekten.
✅ Multiple Regression & Interaktionseffekte: Wie beeinflusst eine Variable den Effekt einer anderen?
✅ Simulation von Daten in R: Mehrdimensionale Normalverteilung & deren Einfluss auf die Analyse.

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