Logistische Regression: Odds vs. Wahrscheinlichkeit 🎲➡️📊

In der logistischen Regression modellieren wir das Auftreten eines Ereignisses (z. B. das Auftreten einer unerwünschten Arzneimittelwirkung, UAW) in Abhängigkeit von Prädiktoren. Dieses Modell arbeitet mit Logits, die den Logarithmus der Odds darstellen.

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1. Das Logit-Modell 📐

Das logistische Regressionsmodell lautet:

$$\text{logit}(p)=\log \left(\frac{p}{1-p}\right)={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+\cdots +{\beta }_k{X}_k$$

• $p$: Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.
• $\frac{p}{1-p}$: Die Odds, also das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses zur Wahrscheinlichkeit des Nichteintretens.
• ${\beta }_0,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_k$: Regressionskoeffizienten.
• $X_1,\dots ,X_k$: Prädiktoren (z. B. Alter, Geschlecht, etc.).

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2. Von Logit zu Odds ⚖️

Wenn wir den linearen Term im Modell exponentieren, erhalten wir:

$$e^{{\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+\cdots +{\beta }_k{X}_k}=\frac{p}{1-p}$$

Wichtig:

• Dieser Wert $e^{\text{(linearer Term)}}$ stellt Odds dar und nicht direkt die Wahrscheinlichkeit $p$.

Beispiel:

• Wenn $e^{1.8831}\approx 6.576$ berechnet wird, dann haben wir:
  • Odds: $\frac{p}{1-p}\approx 6.576$
  • Da Odds Werte größer als 1 annehmen können, wissen wir:
    👉 Es handelt sich hierbei nicht um $p$, denn Wahrscheinlichkeiten $p$ liegen immer zwischen 0 und 1.

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3. Umrechnung von Odds in Wahrscheinlichkeit 🔄➡️🎯

Um die Wahrscheinlichkeit $p$ aus den Odds zu berechnen, nutzen wir die folgende Umrechnung:

$$p=\frac{\text{Odds}}{1+\text{Odds}}=\frac{e^{\text{(linearer Term)}}}{1+e^{\text{(linearer Term)}}}$$

Fortführung des Beispiels:

1. Berechnung der Odds:

   $$e^{1.8831}\approx 6.576$$

2. Umrechnung in Wahrscheinlichkeit:

   $$p=\frac{6.576}{1+6.576}\approx \frac{6.576}{7.576}\approx 0.868(\text{oder }86.8\%)$$

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4. Zusammenfassung & Wichtige Hinweise 📝

• Logistische Regression:
  Modelliert die Log-Odds, nicht direkt die Wahrscheinlichkeit.

• Odds:

  $$\text{Odds}=\frac{p}{1-p}$$
  • Können Werte > 1 annehmen.
  • Direktes Exponentieren des linearen Terms liefert die Odds.

• Wahrscheinlichkeit:

  $$p=\frac{e^{\text{(linearer Term)}}}{1+e^{\text{(linearer Term)}}}$$
  • Liegt immer zwischen 0 und 1.

• Warum die Umrechnung?
  👉 Um aus den Odds, die aus der logistischen Regression resultieren, eine intuitive, interpretierbare Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

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5. Beispiel aus der Praxis 💊📈

Situation:
In einer Studie mit 33 Frauen (54 Jahre alt, mit Statin verordnet) soll das Risiko einer UAW berechnet werden.

Modellparameter:

• ${\beta }_0=-1.75544$
• ${\beta }_1$ (Statin) $=0.14692$
• ${\beta }_2$ (Geschlecht, weiblich) $=0.37668$
• ${\beta }_3$ (Alter) $=0.03694$
• ${\beta }_4$ (Statin:Geschlecht) $=1.12018$

Berechnung:

1. Logit (linearer Term):

   $$\text{logit}(p)=-1.75544+0.14692+0.37668+0.03694\cdot 54+1.12018$$ $$\approx 1.8831$$

2. Odds:

   $$\text{Odds}=e^{1.8831}\approx 6.576$$

3. Wahrscheinlichkeit:

   $$p=\frac{6.576}{1+6.576}\approx 0.868$$

4. Erwartete Anzahl an Fällen:

   $$33\times 0.868\approx 28\text{ Frauen}$$

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Fazit 🎉

• Erkennen, ob es sich um Odds oder Wahrscheinlichkeiten handelt:
  • Odds: Erhalten durch $e^{\text{(linearer Term)}}$, können >1 sein.
  • Wahrscheinlichkeiten: Werden durch Umrechnung aus Odds gewonnen und liegen immer im Intervall $[0,1]$.

Diese Schritte und Umrechnungen sind essenziell, um die Ergebnisse eines logistischen Regressionsmodells korrekt zu interpretieren!

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