BaySta-Blatt-2

Aufgabe 1

Aufgabenstellung

Der Datensatz babyboom.dat enthält die Geburtszeiten $t_1,\dots ,t_n$ (Minuten ab Mitternacht) von $n=44$ Kindern, die am 18. Dezember 1997 in Brisbane, Australien auf die Welt kamen. Für die Zeiten $x_i$ zwischen den Geburten, d.h.

$$x_i=t_i-t_{i-1},t_0=0$$

wird eine Exponentialverteilung mit unbekanntem Parameter $\lambda >0$ angenommen.

(a) Wie lautet die Likelihoodfunktion von $\lambda$ bezüglich der iid Stichprobe $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$? Bestimmen Sie den ML-Schätzer von $\lambda$ zunächst allgemein und anschließend für den babyboom-Datensatz.

GPT

Die Aufgabe besteht darin, die Likelihood-Funktion für den Parameter $\lambda$ einer Exponentialverteilung zu formulieren und den Maximum-Likelihood-Schätzer (ML-Schätzer) für $\lambda$ zu finden.

Likelihood-Funktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Exponentialverteilung für eine Beobachtung (x) ist gegeben durch:

$$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}$$

Für eine Stichprobe $x_1,\dots ,x_n$, die aus unabhängigen und identisch verteilten (iid) Beobachtungen besteht, ist die Likelihood-Funktion $L(\lambda )$ das Produkt der einzelnen Dichten:

$$L(\lambda ;x_1,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^n\lambda e^{-\lambda x_i}={\lambda }^n{e}^{-\lambda {\sum }_{i=1}^n{x}_i}$$ $$\lambda =\frac{1}{\overline{x}}$$

Maximum-Likelihood-Schätzung von $\lambda$

Zur Bestimmung des ML-Schätzers für $\lambda$ maximieren wir die Likelihood-Funktion, wobei es oft einfacher ist, die Log-Likelihood-Funktion zu maximieren:

$$\log L(\lambda )=n\log (\lambda )-\lambda \sum _{i=1}^n{x}_i$$

Durch Ableiten der Log-Likelihood nach $\lambda$ und Nullsetzen der Ableitung erhalten wir:

$$\frac{d}{d\lambda }\log L(\lambda )=\frac{n}{\lambda }-\sum _{i=1}^n{x}_i=0$$

Lösen dieser Gleichung ergibt den ML-Schätzer:

$$\hat{\lambda }=\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}$$

Das bedeutet, $\hat{\lambda }$ ist der Kehrwert des Stichprobenmittels der $x_i$, also der durchschnittlichen Zeit zwischen den Geburten.

Spezifische Berechnung für den babyboom-Datensatz

Für die konkrete Berechnung mit dem babyboom-Datensatz müssen die Differenzen $x_i=t_i-t_{i-1}$ mit $t_0=0$ berechnet werden, und dann kann $\hat{\lambda }$ als oben angegeben bestimmt werden.

Berechnung

Lassen Sie uns die Berechnung des Maximum-Likelihood-Schätzers $\hat{\lambda }$ für den Parameter $\lambda$ der Exponentialverteilung anhand der gegebenen Geburtszeiten durchführen. Hier die Schritte:

1. Berechnen der Zeitintervalle $x_i$: Wir subtrahieren jede Geburtszeit von der vorherigen, um die Intervalle zwischen den Geburten zu bestimmen.
2. Summieren der $x_i$: Die Summe dieser Intervalle wird benötigt, um $\hat{\lambda }$ zu berechnen.
3. Anwenden der Formel für $\hat{\lambda }$: Der ML-Schätzer $\hat{\lambda }$ ist der Kehrwert des Durchschnitts dieser Intervalle, also $\hat{\lambda }=\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}$, wobei $n=44$.

Hier die konkrete Berechnung:

import numpy as np
 
# Geburtszeiten in Minuten ab Mitternacht
birth_times = np.array([5, 64, 78, 115, 177, 245, 247, 262, 271, 428, 455, 492, 494, 549, 635, 649, 653, 693, 729, 776, 785, 846, 847, 873, 886, 914, 991, 1017, 1062, 1087, 1105, 1134, 1149, 1187, 1189, 1191, 1210, 1237, 1251, 1264, 1283, 1337, 1407, 1435])
 
# Berechnung der Zeitintervalle zwischen den Geburten
time_intervals = np.diff(birth_times, prepend=birth_times[0])
 
# Summe der Zeitintervalle
total_time = np.sum(time_intervals)
 
# Anzahl der Geburten
n = len(birth_times)
 
# Berechnung des ML-Schätzers für lambda
lambda_hat = n / total_time
 
print(lambda_hat)

Die letzte Zeile gibt den Schätzwert für $\lambda$ zurück, welcher die erwartete Anzahl von Geburten pro Minute angibt, basierend auf den beobachteten Intervallen.

Der berechnete Maximum-Likelihood-Schätzer $\hat{\lambda }$ für den Parameter $\lambda$ der Exponentialverteilung, basierend auf den gegebenen Geburtszeiten, beträgt etwa 0.0307. Dieser Wert repräsentiert die geschätzte Rate der Geburten pro Minute, d.h., es wird im Durchschnitt alle $\frac{1}{0.0307}\approx 32.6$ Minuten eine Geburt erwartet.

$${\hat{\lambda }}_{ML}=\frac{1}{\Sigma x_i}$$

## (b) Zeigen Sie, dass die Familie der Gamma-Verteilungen >

\mathcal{F} = \left{ f(x) = \frac{b^a}{\Gamma(a)} x^{a-1} \exp(-bx) : a, b > 0 \right}

konjugiert ist zur $\text{Exp}(\lambda)$-Verteilung und bestimmen Sie die Posteriori $p(\lambda|x)$.

GPT

Um zu zeigen, dass die Familie der Gamma-Verteilungen konjugiert zur Exponentialverteilung ist, gehen wir schrittweise vor. Die Exponentialverteilung und die Gamma-Verteilung sind wichtige Mitglieder in der Familie der Exponentialfamilien, und ihre konjugierte Beziehung ist nützlich für Bayesianische Inferenz.

Voraussetzungen und Definitionen

Die Exponentialverteilung hat die Wahrscheinlichkeitsdichte:

$$\text{Exp}(\lambda )(x)=\lambda e^{-\lambda x}\text{fu¨r }x\ge 0$$

wo $\lambda >0$ der Rate-Parameter ist. Die Gamma-Verteilung hat die Wahrscheinlichkeitsdichte:

$$\text{Gamma}(a,b)(x)=\frac{b^a}{\Gamma (a)}{x}^{a-1}{e}^{-bx}\text{fu¨r }x\ge 0$$

wobei $a>0$ der Formparameter (manchmal auch “shape parameter” genannt) und $b>0$ der Ratenparameter ist.

Konjugierte Priori für die Exponentialverteilung

Eine Priori-Verteilung wird als konjugiert zur Likelihood-Funktion einer bestimmten Verteilung betrachtet, wenn das Posterior die gleiche Form wie der Prior hat. Für die Exponentialverteilung zeigt sich, dass die Gamma-Verteilung eine konjugierte Priori ist.

Wenn wir $\lambda$ als zufällige Variable betrachten und annehmen, dass $\lambda$ gamma-verteilt ist, können wir dies wie folgt formulieren:

$$\lambda \sim \text{Gamma}(a,b)$$

Likelihood-Funktion

Gegeben eine Stichprobe $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ von unabhängigen und identisch verteilten Exponentialverteilungen, ist die gemeinsame Likelihood-Funktion gegeben durch:

$$L(\lambda |x)={\lambda }^n{e}^{-\lambda {\sum }_{i=1}^n{x}_i}$$

Berechnung des Posterior

Die Posterior-Verteilung von $\lambda$ nach Beobachtung von $x$ wird unter der Annahme eines Gamma-Prior $\text{Gamma}(a,b)$ berechnet. Das Bayes-Theorem besagt, dass das Posterior proportional zum Produkt aus Prior und Likelihood ist:

$$p(\lambda |x)\propto p(\lambda )\cdot L(\lambda |x)$$

Einsetzen der entsprechenden Dichten ergibt:

$$p(\lambda |x)\propto \frac{b^a}{\Gamma (a)}{\lambda }^{a-1}{e}^{-b\lambda }\cdot {\lambda }^n{e}^{-\lambda {\sum }_{i=1}^n{x}_i}$$

Vereinfachen führt zu:

$$p(\lambda |x)\propto {\lambda }^{a-1+n}{e}^{-\lambda (b+{\sum }_{i=1}^n{x}_i)}$$

Die resultierende Form ist wieder eine Gamma-Verteilung, und wir können die neuen Parameter identifizieren:

$$\lambda |x\sim \text{Gamma}(a+n,b+\sum _{i=1}^n{x}_i)$$

Zusammenfassung

Die Posterior-Verteilung für $\lambda$, nachdem die Daten $x$ beobachtet wurden, wenn $\lambda$ ursprünglich eine Gamma-Verteilung $\text{Gamma}(a,b)$ folgte, ist somit:

$$p(\lambda |x)=\text{Gamma}(a+n,b+\sum _{i=1}^n{x}_i)$$

Dies zeigt, dass die Familie der Gamma-Verteilungen konjugiert zur Exponentialverteilung ist, weil das Posterior dieselbe Form wie der Prior hat, lediglich mit aktualisierten Parametern.

$${\hat{\lambda }}_{ML}=\frac{n}{\Sigma x_i}$$

(c) Berechnen Sie den Theoretischen Posteriori-Erwartungswert] $\mathbb{E}(\lambda |x)$ und den Posteriori-Modus $\arg {\max }_{\lambda }p(\lambda |x)$. Vergleichen Sie die Bayesianischen Schätzer mit dem ML-Schätzer.

(d) Zeichnen Sie die Posteriori für den babyboom Datensatz, wenn als Priori-Parameter $a=b=10^{-3}$ gewählt werden. Visualisieren Sie die drei Schätzer aus Aufgabe c).

(e) Ziehen Sie $N=200$ Realisierungen aus der Posteriori. Visualisieren Sie die Schätzung der Posteriori-Dichte. Bestimmen Sie aus den Ziehungen den Posteriori-Erwartungswert, -Median und -Modus empirisch. Hinweis: Verwenden Sie für den Modus den Befehl density.

(f) Berechnen Sie die Priori-Variant für $\lambda \sim \text{Ga}(a,b)$ sowie die Posteriori-Varianz für $\lambda |x$. Vergleichen Sie für verschiedene Werte von $a$ und $b$ Priori- und Posteriori-Varianz. Zeichnen Sie jeweils die Posteriori-Dichte. Welche Auswirkung hat hohe Priori-Varianz auf die Posteriori? Was passiert im Spezialfall $b=0$?

Hinweis: Die strukturierte Änderung von Priori-Parametern bezeichnet man als Sensitivitätsanalyse.

(g) Bestimmen Sie die prädiktive Posteriori für eine neue Zwischenzeit $\tilde{x}$.

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