📌 Statistische Modellierung – Cheat Sheet

🔍 1. Einführung in die statistische Modellierung

Statistische Modelle sind mathematische Darstellungen von realen Phänomenen zur Beschreibung von Zusammenhängen zwischen Variablen.
Ziel: Identifikation, Schätzung und Interpretation von Zusammenhängen zwischen einer abhängigen Variablen ( $Y$ ) und einer oder mehreren unabhängigen Variablen ( $X$ ).

Hauptbestandteile eines statistischen Modells

Strukturelle Komponente: Zusammenhang zwischen den Variablen ( $f (X)$ ).
Stochastische Komponente: Modellierung zufälliger Fehler ( $ε$ ).
Schätzverfahren: Methoden zur Parameterschätzung.

⚠️ 2. Adjustierung für Confounder

Unadjustierter Zusammenhang: Berechnung ohne Berücksichtigung anderer Einflussgrößen.
Adjustierter Zusammenhang: Kontrolle von Confoundern durch verschiedene Methoden.

Strategien zur Kontrolle von Confoundern:

Während der Studienplanung:
- Randomisierung: Zufällige Zuweisung zur Experimental- oder Kontrollgruppe.
- Matching: Vergleichbare Gruppen mit gleichen Confounder-Werten bilden.
- Ausschluss: Entfernen von Teilnehmern mit bestimmten Confounder-Werten.
Während der Datenanalyse:
- Stratifizierung: Aufteilung der Daten in Gruppen nach Confoundern.
- Regression: Statistische Modellierung zur Adjustierung für Confounder.
- Standardisierung: Berechnung adjustierter Raten.
- Propensity Score Matching (PSM): Verwendung von Matching-Techniken.

📊 3. Lineare Regression

Einfaches lineares Modell:

Y_{i} = β_{0} + β_{1} X_{i} + ε_{i}

$β_{0}$ : Achsenabschnitt (Intercept).
$β_{1}$ : Steigung (Slope), beschreibt den Einfluss von $X$ auf $Y$ .
$ε_{i}$ : Fehlerterm (Residuen).

Schätzmethoden:

Methode der kleinsten Quadrate (OLS): $\hat{β}_{1} = \frac{\sum ( X _{i} - X ˉ ) ( Y _{i} - Y ˉ )}{\sum ( X _{i} - X ˉ ) ^{2}}$ $\hat{β}_{0} = \overset{ˉ}{Y} - \hat{β}_{1} \overset{ˉ}{X}$
Varianzzerlegung: $Gesamtvarianz = erkl \overset{a}{¨} rte Varianz + Residuenvarianz$

Güte des Modells (Bestimmtheitsmaß $R^{2}$ ):

R^{2} = 1 - \frac{\sum ( Y _{i} - Y ^ _{i} ) ^{2}}{\sum ( Y _{i} - Y ˉ ) ^{2}}

$R^{2}$ gibt den Anteil der durch das Modell erklärten Variation an.

📉 4. Logistische Regression

Modell für binäre abhängige Variablen ( $Y \in {0, 1}$ ).
Logit-Funktion: $lo g (\frac{P ( Y = 1∣ X )}{1 - P ( Y = 1∣ X )}) = β_{0} + β_{1} X$
Umformulierung zur Wahrscheinlichkeitsfunktion: $P (Y = 1∣ X) = \frac{e ^{β_{0} + β_{1} X}}{1 + e ^{β_{0} + β_{1} X}}$

Interpretation von Koeffizienten ( $β_{j}$ ) als Odds Ratios (OR):

OR = e^{β_{j}}

$OR > 1$ : Höheres Risiko.
$OR < 1$ : Geringeres Risiko.

Multiples logistische Modell mit Confoundern:

lo g (\frac{P ( Y = 1∣ X )}{1 - P ( Y = 1∣ X )}) = β_{0} + β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2} + \dots + β_{p} X_{p}

📈 5. Poisson-Regression (Zählmodelle)

Modell für Anzahl von Ereignissen in einer bestimmten Zeitspanne.
Modellform:
$lo g (λ) = β_{0} + β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2} + \dots + β_{p} X_{p}$
mit $λ$ als erwartete Anzahl der Ereignisse.
Likelihood-Funktion:
$L (λ) = \frac{e ^{- λ} λ ^{y}}{y !}$
Schätzung der Inzidenzraten:
$\hat{λ} = \frac{y}{T}$
mit $y$ als Anzahl der Fälle und $T$ als Personenzeit.

📊 6. Überlebenszeitanalyse (Survival Analysis)

Modellierung der Zeit bis zum Eintreten eines Ereignisses (z. B. Tod, Rückfall).
Kaplan-Meier-Schätzer:
$\hat{S} (t) = t_{i} \leq t \prod (1 - \frac{d _{i}}{n _{i}})$
wobei $d_{i}$ die Anzahl der Ereignisse und $n_{i}$ die Anzahl der Risiko-Personen zum Zeitpunkt $t_{i}$ ist.
Cox-Proportional-Hazards-Modell:
$h (t ∣ X) = h_{0} (t) e^{β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2} + \dots + β_{p} X_{p}}$
mit Hazard Ratio (HR):
$H R = e^{β_{j}}$

⚖️ 7. Bias & Varianz in der Modellierung

Bias (Verzerrung): Systematische Abweichung der Schätzung vom wahren Wert.
Varianz: Empfindlichkeit der Schätzung gegenüber Stichprobenvariabilität.

Bias-Varianz-Dilemma:

Gesamtfehler = Bias^{2} + Varianz + Rauschen

Hoher Bias, niedrige Varianz → Unteranpassung (Underfitting).
Niedriger Bias, hohe Varianz → Überanpassung (Overfitting).

📌 8. Fazit

✅ Lineare Regression für metrische Zielgrößen, logistische Regression für binäre Zielgrößen.
✅ Poisson-Regression für Zähldaten, Überlebenszeitanalyse für Zeit-bis-Ereignis-Daten.
✅ Confounder müssen adjustiert werden (Matching, Regression, Propensity Score).
✅ Bias-Varianz-Dilemma beachten: Modellkomplexität sollte optimiert sein.
✅ Odds Ratio (OR), Hazard Ratio (HR) und Inzidenzraten interpretieren.

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