Standardfehler bei Konfidenzintervall (KI) mit Odds Ratio und Relativem Risiko

In vielen Studien – vor allem in klinischen, epidemiologischen oder Public‐Health‐Bereichen – will man neben dem Punktschätzer (z. B. der Odds Ratio oder des Relativen Risikos) auch einen Konfidenzintervall (KI) angeben. Dafür braucht man den Standardfehler (SE). Häufig wird hierfür die natürliche Logarithmierung des jeweiligen Maßes verwendet, weil sich die Kennwerte dann einfacher approximativ normal verteilen.

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🔢 Odds Ratio (OR)

Aus einer 2×2‐Tabelle:

	Outcome = ja	Outcome = nein
Exposition = ja	a	b
Exposition = nein	c	d

berechnet sich die Odds Ratio als:

$$\mathrm{OR}=\frac{a\times d}{b\times c}.$$

Standardfehler der $\ln (\mathrm{OR})$

Der Standardfehler des logarithmierten Odds Ratios ($\ln (\mathrm{OR})$) kann – bei genügend großen Fallzahlen – approximativ so berechnet werden:

$$\mathrm{SE}(\ln (\mathrm{OR}))=\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}.$$

Das bedeutet: Man schaut sich jede Zelle der 2×2‐Tabelle separat an und addiert die Kehrwerte.
Achtung: Die Fallzahlen sollten nicht zu klein sein, damit diese Approximation gut funktioniert.

Konfidenzintervall (z. B. 95 %-KI)

Mit dem Standardfehler lässt sich zum Beispiel ein 95 %-Konfidenzintervall für die OR (bzw. für $\ln (\mathrm{OR})$) berechnen:

1. Logarithmische Form:

   $$\ln (\mathrm{OR})\pm z_{\alpha /2}\times \mathrm{SE}(\ln (\mathrm{OR})),$$

   wobei $z_{\alpha /2}$ der passende Wert aus der Standard‐Normalverteilung ist (ca. 1,96 für ein 95 %-KI).

2. Rücktransformation:
   Für die Grenzen des Konfidenzintervalls im ursprünglichen Maßstab exponentiert man das Ergebnis:

   $${\mathrm{KI}}_{95\%}=\left[\exp (\ln (\mathrm{OR})-1,96\mathrm{SE}(\ln (\mathrm{OR})\left)\right),\exp (\ln (\mathrm{OR})+1,96\mathrm{SE}(\ln (\mathrm{OR})\left)\right)\right].$$

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🤔 Relatives Risiko (RR)

Das Relative Risiko (risk ratio) berechnet sich aus der 2×2‐Tabelle ähnlich, aber nutzt Risiken (Inzidenzen) statt Odds:

$$\mathrm{RR}=\frac{\text{Risiko (Exposition ja)}}{\text{Risiko (Exposition nein)}}=\frac{\frac{a}{a+b}}{\frac{c}{c+d}}.$$

Standardfehler der $\ln (\mathrm{RR})$

Der Standardfehler des logarithmierten Relativen Risikos ( $\ln (\mathrm{RR})$) lässt sich näherungsweise so berechnen:

$$\mathrm{SE}(\ln (\mathrm{RR}))=\sqrt{\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{c+d}}.$$

Warum diese Form?

• Für $a$, $c$ usw. verwenden wir die üblichen Näherungsformeln aus der Poisson‐ bzw. binomialen Varianz.
• Das Minus‐Vorzeichen kommt daher, dass wir für das Risiko einer Gruppe $\frac{a}{a+b}$ die Varianz entsprechend anpassen.

Konfidenzintervall (z. B. 95 %-KI)

Ähnlich wie bei der OR:

1. Logarithmische Form:

   $$\ln (\mathrm{RR})\pm z_{\alpha /2}\mathrm{SE}(\ln (\mathrm{RR})).$$

2. Rücktransformation in den „normalen“ RR‐Maßstab:

   $${\mathrm{KI}}_{95\%}(\mathrm{RR})=\left[\exp (\ln (\mathrm{RR})-1,96\mathrm{SE}(\ln (\mathrm{RR})\left)\right),\exp (\ln (\mathrm{RR})+1,96\mathrm{SE}(\ln (\mathrm{RR})\left)\right)\right].$$

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🎉 Zusammenfassung

1. Odds Ratio (OR = $ad/bc$)

   • Standardfehler für $\ln (\mathrm{OR})$:

\sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}

- 95 %-KI: erst $\ln(\mathrm{OR})$ $\pm$ 1,96 × SE, dann Rücktransformation via $\exp(\cdot)$. 2. **Relatives Risiko** (RR = $\tfrac{a/(a+b)}{c/(c+d)}$) - Standardfehler für $\ln(\mathrm{RR})$: $$ \sqrt{ \frac{1}{a} - \frac{1}{a + b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{c + d} } $$ - 95 %-KI analog: Logarithmieren, Streubereich ausrechnen, exponentieren. So hast du ein rundes Bild, um sowohl **Punktschätzer** als auch **Konfidenzintervalle** bei Odds Ratio und Relativem Risiko zu berechnen. Bei **kleinen Stichproben** (_kleine Zellenwerte_) sind jedoch **exaktere** Methoden (z. B. _exakter Test_, _Profile‐Likelihood‐KI_) zu bevorzugen. Viel Erfolg beim Rechnen! 🚀 <!-- DISQUS SCRIPT COMMENT START --> <!-- DISQUS RECOMMENDATION START --> <div id="disqus_recommendations"></div> <script> (function() { // REQUIRED CONFIGURATION VARIABLE: EDIT THE SHORTNAME BELOW var d = document, s = d.createElement('script'); // IMPORTANT: Replace EXAMPLE with your forum shortname! s.src = 'https://myuninotes.disqus.com/recommendations.js'; s.setAttribute('data-timestamp', +new Date()); (d.head || d.body).appendChild(s); })(); </script> <noscript> Please enable JavaScript to view the <a href="https://disqus.com/?ref_noscript" rel="nofollow"> comments powered by Disqus. </a> </noscript> <!-- DISQUS RECOMMENDATION END --> <hr style="border: none; height: 2px; background: linear-gradient(to right, #f0f0f0, #ccc, #f0f0f0); margin-top: 4rem; margin-bottom: 5rem;"> <div id="disqus_thread"></div> <script> /** * RECOMMENDED CONFIGURATION VARIABLES: EDIT AND UNCOMMENT THE SECTION BELOW TO INSERT DYNAMIC VALUES FROM YOUR PLATFORM OR CMS. * LEARN WHY DEFINING THESE VARIABLES IS IMPORTANT: https://disqus.com/admin/universalcode/#configuration-variables */ /* var disqus_config = function () { this.page.url = PAGE_URL; // Replace PAGE_URL with your page's canonical URL variable this.page.identifier = PAGE_IDENTIFIER; // Replace PAGE_IDENTIFIER with your page's unique identifier variable }; */ (function() { // DON'T EDIT BELOW THIS LINE var d = document, s = d.createElement('script'); s.src = 'https://myuninotes.disqus.com/embed.js'; s.setAttribute('data-timestamp', +new Date()); (d.head || d.body).appendChild(s); })(); </script> <noscript>Please enable JavaScript to view the <a href="https://disqus.com/?ref_noscript">comments powered by Disqus.</a></noscript> <!-- DISQUS SCRIPT COMMENT END --> <!-- KO-FI WIDGET START --> <script> (function() { let kofiContainerId = null; let currentScript = null; function initializeKofi() { // Cleanup previous instances if (kofiContainerId) { const oldContainer = document.getElementById(kofiContainerId); if (oldContainer) oldContainer.remove(); } if (currentScript) { currentScript.remove(); } // Create new container kofiContainerId = 'kofi-container-' + Date.now(); const container = document.createElement('div'); container.id = kofiContainerId; document.body.appendChild(container); // Load fresh script currentScript = document.createElement('script'); currentScript.src = 'https://storage.ko-fi.com/cdn/scripts/overlay-widget.js'; currentScript.onload = () => { kofiWidgetOverlay.draw('myuninotes', { 'type': 'floating-chat', 'floating-chat.donateButton.text': 'Support me', 'floating-chat.donateButton.background-color': '#00b9fe', 'floating-chat.donateButton.text-color': '#fff' }, kofiContainerId); }; document.head.appendChild(currentScript); } // Initial load initializeKofi(); // SPA navigation handlers const spaNavigationEvents = ['load', 'hashchange', 'popstate']; spaNavigationEvents.forEach(event => { window.addEventListener(event, initializeKofi); }); // Modern SPA history handling const originalPushState = history.pushState; history.pushState = function() { originalPushState.apply(this, arguments); initializeKofi(); }; const originalReplaceState = history.replaceState; history.replaceState = function() { originalReplaceState.apply(this, arguments); initializeKofi(); }; })(); </script> <!-- KO-FI WIDGET END --> <!-- Modal START --> <div id="myuniModalScope"> <style> /* Prefix alles mit #myuniModalScope, um Konflikte zu vermeiden */ #myuniModalScope .myuni-modal { display: none; /* Hidden by default */ position: fixed; z-index: 1000; left: 0; top: 0; width: 100%; height: 100%; overflow: auto; background-color: rgba(0, 0, 0, 0.6); } #myuniModalScope .myuni-modal.myuni-show { display: block; } #myuniModalScope .myuni-modal-content { background-color: #fff; margin: 10% auto; padding: 20px; border-radius: 8px; width: 80%; max-width: 500px; box-shadow: 0 4px 6px rgba(0, 0, 0, 0.1); position: relative; animation: myuni-fadeIn 0.5s; } #myuniModalScope .myuni-close { position: absolute; top: 10px; right: 15px; font-size: 24px; font-weight: bold; color: #aaa; cursor: pointer; } #myuniModalScope .myuni-close:hover { color: #000; } #myuniModalScope .myuni-modal-text { font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; font-size: 16px; margin-bottom: 15px; color: #333; line-height: 1.5; } #myuniModalScope .myuni-modal-highlight { font-weight: bold; color: #555; } #myuniModalScope .myuni-ko-fi-widget-container { text-align: center; margin-top: 20px; } @keyframes myuni-fadeIn { from { opacity: 0; } to { opacity: 1; } } </style> <!-- HTML-Gerüst mit eigenen Klassen/IDs bleibt --> <div id="myModal" class="myuni-modal"> <div class="myuni-modal-content"> <span id="closeModal" class="myuni-close">&times;</span> <p class="myuni-modal-text"> <span class="myuni-modal-highlight"> MyUniNotes is a free, non-profit project to make education accessible for everyone. </span> If it has helped you, consider giving back! 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