Aufgabe 1: Anforderungen des Internets (H)

Note

Im Internet macht es den Anschein, also wären alle Geräte unmittelbar miteinander verbunden.

(a) Angenommen Sie müssen ein Netz entwerfen, in dem jedes Endgerät mit jedem anderen verkabelt ist, d. h. komplett vermascht

Formel zur Berechnung der Anzahl von Verbindungen in einem hierarchischen Netzwerk

  • : Alle möglichen Richtungen der Verbindung zwischen den Geräten (jedes Gerät kann mit jedem anderen verbunden werden).
  • : Jede Verbindung zwischen zwei Geräten soll nur einmal gezählt werden, statt zweimal (von A zu B ist dieselbe Verbindung wie von B zu A).
  • 8 Teilnehmer?
    • 28 Verbindungen
  • 300 Teilnehmer?
    • 44850 Verbindungen
  • Teilnehmer?
    • =

(b) Statt dessen sollen jetzt immer maximal fünf Geräte direkt mit einem Knoten, aber nicht untereinander, verbunden sein. Maximal fünf dieser Knoten sind wiederum mit einem Knoten verbunden, usw.

Formel zur Berechnung der Anzahl von Verbindungen in einem hierarchischen Netzwerk

  • : Anzahl der Teilnehmer auf der untersten Ebene (Ebene 0).
  • : Anzahl der Knoten auf Ebene , wobei die maximale Anzahl von Geräten oder Knoten ist, die ein einzelner Knoten verbinden kann.
  • : Anzahl der Ebenen, bestimmt durch die wiederholte Anwendung von bis .
  • Die Summe läuft über alle Ebenen bis zur vorletzten Ebene, da die Knoten auf jeder Ebene genau eine Verbindung zu einem Knoten auf der nächsten Ebene haben.

Wie viele Verbindungen benötigt man hier für:

  • 8 Teilnehmer?
    • 10 Knoten
![img](./8teilnehmer.drawio.svg)
  • 300 Teilnehmer?

    • Diese 60 Knoten müssen jetzt untereinander noch verbunden werden
    • Diese 12 Knoten müssen jetzt untereinander noch verbunden werden
    • (Es wird immer aufgerundet!)
  • N Teilnehmer: auf Ebene

    • Ausgehend von einem Baum, jede Ebene hat Knoten.
    • Auf hat nur Kinderknoten, daher noch das .

In der Formel, die wir verwenden, steht für die Anzahl der Ebenen in einer Baumstruktur, in der jeder Knoten maximal fünf Kindknoten haben kann. In einem solchen Baum ist jeder Knoten ein Gerät oder ein Teilnehmer, und die Anzahl der Teilnehmer, die in der Struktur untergebracht werden können, wird durch die Formel

Bestimmt. Dabei bezieht sich auf die Anzahl der vollständigen Ebenen unterhalb der Wurzel des Baumes. Wenn , dann gibt es nur die Wurzelebene ohne weitere Ebenen darunter. Mit jeder Erhöhung von um 1 wird eine weitere Ebene hinzugefügt, was die Gesamtanzahl der möglichen Teilnehmer signifikant erhöht, da die Anzahl der Knoten geometrisch mit der Basis 5 zunimmt.


Aufgabe 2: Das Stellenwertsystem (H)

Note

Zahlensysteme bestehen aus einem Alphabet (Ziffern) und einer Menge von Regeln, wie Wörter (Zahlen) gebildet werden. Bei dem in Europa gängigen Stellenwertsystem werden Zahlen von links nach rechts mit den Koeffizienten der Zerlegung in eine Summe von Potenzen einer gewählten Basis, meist 10, aufgeschrieben. Die erste Ziffer ist demnach der Koeffizient der höchsten verwendeten Potenz und mit jeder weiteren Ziffer wird der Exponent um 1 verringert. Ein Komma (,) markiert den Vorzeichenwechsel des Exponenten. Wird kein Vorzeichenwechsel benötigt, so ist der Exponent des letzten Summanden, der Ziffer ganz rechts, stets 0. Die folgende Tabelle zeigt gängige Stellenwertzahlensysteme in der Informatik.

Tabelle 1: Zahlensysteme werden häufig entsprechend der Mächtigkeit ihres Alphabets benannt. Beim Arbeiten mit verschiedenen Zahlensystemen ist es wichtig stets sicherzustellen, dass klar ist, mit welchem Zahlensystem eine Zahl dargestellt wird. Die allgemeine Notation ist die Zahl in runden Klammern und die Basis in Dezimalschreibweise, also Index der abschließenden Klammer. Um zum Beispiel zu verdeutlichen, dass man das Dezimalsystem benutzt, schreibt man .

(a) Welche Ziffern werden normalerweise für das Hexadezimalsystem verwendet? Schreiben Sie alle mit aufsteigender Wertigkeit auf!

(b) Schreiben Sie die Zahlen 2, 4, 8, 10 je im Hexadezimal-, Oktal- und Binärsystem auf!

ZahlHexadezimalOktalBinär
22210
444100
88101000
10A121010

(c) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen je in das Binärsystem und das Hexadezimalsystem!

  • 16

    • Binär:

    • Hexadezimal:

  • 127

    • Binär: 1111111
    • Hexa: 7F
  • 168

    • Binär: 10101000
    • Hexa: A8
  • 172

    • Binär: 10101100
    • Hexa: AC
  • 192

    • Binär: 11000000
    • Hexa: C0
  • 255

    • Binär: 11111111
    • Hexa: FF

(d) Wieviele Stellen hat die Zahl in Binärdarstellung? Wieviele davon sind 1 wieviele 0?

Aufgepasst

hat 32 Stellen, wovon alle 1 sind


3. Rechnen in unterschiedlichen Zahlensystemen

Die größte Herausforderung beim Arbeiten mit Binärzahlen ist, dass es kaum ein Zahlensystem gibt, bei dem die Anzahl der gültigen Ziffern schneller wächst. Zum Beispiel ist die kleinste dreistellige (natürliche) Zahl im Dezimalsystem, während ihre Binärdarstellung bereits sieben Stellen benötigt.

ZahlensystemZahlmultipliziert mit Faktor
Dezimalsystemzwei24162032
acht8166480128
Oktalsystemzwei24202440
acht1020100120200

Tabelle 2: Multiplikation (Zahl) * (Faktor)

(a) Tabelle 2 zeigt die Ergebnisse für die Berechnungen im Dezimal und Oktalsystem. Führen Sie die selbe Rechnung für das Binär- und Hexadezimalsystem durch!

ZahlensystemZahlmultipliziert mit Faktor
Dezimalsystemzwei24162032
acht8166480128
Oktalsystemzwei24202440
acht1020100120200
Binärzwei1010010001010010000
acht1000100001000000101000010000000
Hexadezimalzwei24101420
acht8101005080

(b) Ergebnisse der folgenden Terme im angegebenen Zahlensystem auf…

I. Als Binärzahl: , , , , ,

  • 100
  • 1000
  • 10000
  • 100000
  • 1000000
  • 10000000

Ii. Als Oktalzahl: , , , , ,

  • 100
  • 1000
  • 10000
  • 100000
  • 1000000
  • 10000000

Iii. Als Dezimalzahl: , , , , ,

  • 100
  • 1000
  • 10000
  • 100000
  • 1000000
  • 10000000

Iv. Als Hexadezimalzahl: , , , , ,

  • 100
  • 1000
  • 10000
  • 100000
  • 1000000
  • 10000000