Relationale Algebra

Was ist die relationale Algebra vor allem im Bereich DBS?

• Formale Anfragesprache (neben Bereichs und Tuple Kalkül)
• Wird in der Praxis durch SQL umgesetzt
• Formulieren von Anfragen an eine Menge von Relationen
• Operationen auf Relationen liefern also Ergebnis auch eine Relation

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Notation

• R und S - Relationen
• t - Tuple aus Relation
• A und B - Attribute
• F -Formel
• $A_i$ - Zugriff auf Attribute durch den Namen

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Grundoperationen

Vereinigung

$$R\cup S=\{t|t\in Rodert\in S\}$$

• 2 Relationen werden einfach “zusammen addiert”
• R mit S

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Differenz

$$R-S=\{t|t\in Rundt\notin S\}$$

• Tuple aus R welche in S enthalten sind werden entfernt
• R ohne S

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Kartesisches Product

• Jedes Tuple aus R mit jedem Tuple aus S

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Selektion

$${\sigma }_F(R)=t|t\in R\wedge erf\ddot{u}lltF$$

• Die Selektion wird durch das Symbol σ dargestellt und filtert die Zeilen einer Tabelle basierend auf einem Kriterium F. Im Beispiel wird das Kriterium Gewicht ≤ 12 verwendet.
• ${\sigma }_{Gewicht\le 12}(R)$ = alle Tuple in denen Gewicht kleiner gleich 12 ist

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Projektion

$${\Pi }_{a1,\dots ,am}(R)=\{t_{a1},\dots ,t_{am}|t\in R\}$$

• Zeigt nur die ausgewählten Spalten aus einer Relation
• Z.B. ${\Pi }_{TNr,Gewicht}$ zeigt die Tuple und jeweils deren spalten TNr und Gewicht keine anderen Spalten

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Durchschnitt

$$R\cap S=\{t|t\in Rundt\in S\}$$

• Relation also Ergebnis welche den Schnitt der beiden Relationen enthält

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Joins

$$R\underset{\varphi }{\bowtie }S={\sigma }_{\varphi }(R\times S)$$ $$\varphi \text{Steht als Bedingung bzw. Ausdruck }$$

Equi-Join

$$R{\bowtie }_{A=B}S=\{(r,s)|r\in R\wedge s\in S\wedge r_{|A|}=s_{|B|}\}$$

• Zum Zusammenfügen von Relationen

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Quotient

Blatt 12 Anwendungsbeispiel

Der Quotient ist eine etwas komplexere Operation in der relationalen Algebra. Gegeben zwei Relationen R und S, wird der Quotient R ÷ S also die Menge aller Tuple t definiert, die bei der Projektion von R auf die Attribute, die nicht in S sind (R - S), existieren und für die jedes Tuple in S mit t kombiniert werden kann, um ein Tuple in R zu formen.

$$R÷S={\pi }_{R{}^{\prime }}(R)-{\pi }_{R{}^{\prime }}(({\pi }_{R{}^{\prime }}(R)\times S)-R)$$ $$R÷S=\{t|t\in {\Pi }_{R-S}(R)\wedge \{t\}\times S\subseteq R\}$$

• Das Ergebnis ist eine Relation, die jene Tuple aus R beinhaltet, die mit allen Tupeln aus S verknüpft werden können.
• Z.B. $R÷S$ zeigt die Lieferantennummern (LNr), die alle Teile liefern können.

Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Relationen: eine Relation LieferantenTeile, die angibt, welche Teile von welchen Lieferanten geliefert werden, und eine Relation BestellteTeile, die die Teile enthält, die Sie bestellen möchten.

Relation LieferantenTeile

LNr	TNr
L1	T1
L1	T2
L1	T3
L2	T1
L2	T3

Relation BestellteTeile

TNr
T1
T2
T3

Wenn Sie nun wissen möchten, welche Lieferanten alle Teile liefern können, die Sie bestellen möchten, können Sie den Quotienten LieferantenTeile ÷ BestellteTeile berechnen.

Ergebnis des Quotienten

$$LieferantenTeile÷BestellteTeile=\{t|t\in {\Pi }_{LNr}(LieferantenTeile)\wedge \{t\}\times BestellteTeile\subseteq LieferantenTeile\}$$

Das Ergebnis zeigt nur die LNr (Lieferantennummer), die alle TNr (Teilenummern) aus BestellteTeile liefern können.

Ergebnisrelation

LNr
L1

Das Ergebnis besagt, dass nur Lieferant L1 alle Teile liefern kann, die in der Relation BestellteTeile aufgeführt sind.

• Diese Operation ist nützlich, um Abhängigkeiten zwischen Relationen zu ermitteln, zum Beispiel bei der Lieferantenwahl.

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